集合

集合

定義：集合

ものの集まりを集合と呼ぶ。集合を構成する「もの」を元と呼ぶ。

集合 $S$ に対して、対象 $a$ が $S$ の元であるとき、この関係を

$$a \in S$$

と表す。

また、任意の対象について、その集合に属するか否かは明確に定まるものとする。

集合が集合であるための条件をあえて挙げれば、以下の通りである。

• 元はどんなものでもかまわない。例えば、以下のようなものが元として考えられる。
  • 任意の集合
  • 文字列
  • 数式
  • $(a,b)$ や $(\bigstar,\spadesuit)$ のような組
• 元の数は $0$ 個以上であればよい。

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定義：集合の記述方法

集合の元をすべて列挙することによって集合を表す方法を、外延的記法と呼ぶ。

例えば、

$$\{a,b,c\}, \qquad \{1,2,3\}$$

のように表す。

元が満たす条件を用いて集合を表す方法を、内包的記法と呼ぶ。

例えば、

$$\{a\mid a\in\mathbb R\}$$

のように表す。

外延的記法・内包的記法の導入にあたり、集合について次の性質を前提とする。

• すべての元が同一である集合は同じ集合である。

• 元は重複しない。

  $$\{a,a\}=\{a\}$$

• 元は順序を持たない。

  $$\{a,b\}=\{b,a\}$$

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集合の演算