多様体

位相多様体

定義：位相多様体

局所ユークリッド的なハウスドルフ空間を位相多様体と呼ぶ。

任意の点が $\mathbb{R}^n$ に同相な近傍を持つような位相多様体を $n$ 次元多様体と呼ぶ。

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射影多様体

定義：射影多様体

体 $k$ 上の $n$ 次元射影空間 $\mathbb{P}_k^n$ の部分集合であって、 $k$ 係数 $n+1$ 変数斉次多項式の有限族の零点集合として表されるものを 射影代数的集合という。

その定義イデアルが素イデアルであるとき、 これを射影多様体と呼ぶ。

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多様体の例

$n$ 次元多様体

1. 実座標空間 $\mathbb{R}^n$ は $n$ 次元多様体である。

2. 任意の離散空間は $0$ 次元多様体である。

3. 円周 $S^1$ はコンパクト $1$ 次元多様体である。

4. トーラスとクラインの壺はコンパクト $2$ 次元多様体、すなわち曲面である。

5. $n$ 次元球面 $S^n$ はコンパクト $n$ 次元多様体である。

6. $n$ 次元トーラス

   $$T^n = \underbrace{S^1\times\cdots\times S^1}_{n\text{ 個}}$$

   はコンパクト $n$ 次元多様体である。

射影空間

実数、複素数、四元数上の射影空間はコンパクト多様体となる。

• 実射影空間 $\mathbb{RP}^n$ は $n$ 次元多様体である。
• 複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ は実 $2n$ 次元多様体である。
• 四元数射影空間 $\mathbb{HP}^n$ は実 $4n$ 次元多様体である。

射影空間に関連する多様体として、

• グラスマン多様体
• 旗多様体
• スティーフェル多様体

などがある。

その他の多様体

• レンズ空間は、奇数次元球面の商として得られる多様体のクラスである。
• リー群は、群構造と多様体構造が両立する多様体である。
• $n$ 次元多様体の任意の開部分集合は、部分空間位相によって $n$ 次元多様体となる。

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多様体の構成

積

$M$ が $m$ 次元多様体、$N$ が $n$ 次元多様体ならば、

$$M\times N$$

は $(m+n)$ 次元多様体である。

非交和

$n$ 次元多様体の族の非交和は $n$ 次元多様体である。

ただし、各成分の次元はすべて $n$ であるとする。

連結和

2つの $n$ 次元多様体 $M,N$ の連結和

$$M\mathbin{\#}N$$

は再び $n$ 次元多様体となる。