開集合と閉集合

前提知識

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ において、 $\mathcal{O}$ に属する部分集合を開集合という。

すなわち、

U\subset X

について、

U\in\mathcal{O}

ならば $U$ は開集合である。

位相の公理より、

\varnothing,\ X

は開集合であり、任意個の開集合の和集合および有限個の開集合の共通部分も開集合である。

一方、部分集合 $F\subset X$ の補集合

X\setminus F

が開集合であるとき、 $F$ を閉集合という。

したがって、

F\text{ が閉集合} \iff X\setminus F\text{ が開集合}

である。

閉集合については、任意個の閉集合の共通部分と有限個の閉集合の和集合が閉集合になる。

開集合と閉集合は互いに排他的な概念ではない。 $\varnothing$ と $X$ は常に開集合かつ閉集合である。このような集合を開閉集合という。

開集合を基礎とする現代的な位相空間の定式化は、20世紀初頭にハウスドルフらによって整備された。

それ以前の解析学では距離や近傍を用いて連続性や極限が研究されていたが、開集合の体系を抽象化することで、距離を持たない空間にもこれらの概念を拡張できるようになった。

$\mathbb{R}$ に通常の位相を入れると、

(0,1)

は開集合であり、

[0,1]

は閉集合である。

「閉集合とは開集合でない集合である」という理解は誤りである。

例えば $\mathbb{R}$ における

[0,1)

は開集合でも閉集合でもない。

また $\varnothing$ と $\mathbb{R}$ は開集合であると同時に閉集合でもある。

開集合と閉集合は、連続性、収束、コンパクト性、連結性など、位相空間のほぼすべての基本概念を定義するために用いられる。

連続写像は開集合の逆像を用いて定義でき、閉包や内部も開集合・閉集合から定義される。

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ において、任意個の閉集合の共通部分が閉集合であることを示せ。

閉集合族 $\{F_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ を考える。

各 $F_\lambda$ は閉集合なので、

X\setminus F_\lambda

は開集合である。

ド・モルガンの法則より、

X\setminus\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda = \bigcup_{\lambda\in\Lambda}(X\setminus F_\lambda)

である。

右辺は開集合の任意和であるため開集合である。

したがって、

\bigcap_{\lambda\in\Lambda}F_\lambda

は閉集合である。