内部と閉包

前提知識

• 位相空間
• 開集合
• 閉集合
• 部分集合
• 近傍

概要

位相空間 $X$ の部分集合 $A\subset X$ を考える。

$A$ に含まれるすべての開集合の和集合を $A$ の内部といい、

$$\operatorname{Int}A$$

または

$$A^\circ$$

と表す。

すなわち、

$$\operatorname{Int}A = \bigcup\{U\subset A\mid U\text{ は開集合}\}$$

である。

$\operatorname{Int}A$ は $A$ に含まれる最大の開集合である。

一方、$A$ を含むすべての閉集合の共通部分を $A$ の閉包といい、

$$\overline{A}$$

と表す。

すなわち、

$$\overline A = \bigcap\{F\supset A\mid F\text{ は閉集合}\}$$

である。

$\overline A$ は $A$ を含む最小の閉集合である。

点 $x$ が $\overline A$ に属することは、$x$ の任意の開近傍 $U$ が

$$U\cap A\neq\varnothing$$

を満たすことと同値である。

また、

$$\partial A = \overline A\setminus\operatorname{Int}A$$

を $A$ の境界という。

歴史的経緯

内部、閉包、境界という概念は、集合の局所的な位置関係を記述するために解析学や幾何学で用いられてきた。

位相空間の理論が成立すると、これらは距離を使わず開集合と閉集合だけによって定義される概念として整理された。

特に閉包作用を公理化する方法はクラトフスキーによって研究され、位相そのものを閉包作用から特徴づけることもできる。

例と反例

例

$\mathbb{R}$ に通常の位相を入れ、

$$A=[0,1)$$

とする。

このとき、

$$\operatorname{Int}A=(0,1)$$

であり、

$$\overline A=[0,1]$$

である。

したがって、

$$\partial A=\{0,1\}$$

となる。

反例

一般に、

$$A=\operatorname{Int}A$$

とは限らない。

これは $A$ が開集合の場合に限って成立する。

また、

$$A=\overline A$$

も常には成立せず、これは $A$ が閉集合の場合に限って成立する。

応用例

内部と閉包は、開集合・閉集合の特徴づけ、稠密集合、境界、連続性などの定義や証明に用いられる。

例えば $A$ が $X$ で稠密であることは、

$$\overline A=X$$

と表せる。

例題

問題

$\mathbb{R}$ の通常の位相において、

$$A=\mathbb{Q}$$

の内部と閉包を求めよ。

解答

任意の開区間には無理数が存在するため、$\mathbb{Q}$ に含まれる空でない開区間は存在しない。

したがって、

$$\operatorname{Int}\mathbb{Q}=\varnothing$$

である。

一方、任意の開区間には有理数が存在するため、任意の $x\in\mathbb{R}$ の任意の開近傍は $\mathbb{Q}$ と交わる。

したがって、

$$\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$$

である。