同相写像・同相

前提知識

位相空間 $X,Y$ の間の写像

f:X\to Y

が次の条件を満たすとき、 $f$ を同相写像という。

$X$ と $Y$ の間に同相写像が存在するとき、 $X$ と $Y$ は同相であるといい、

X\cong Y

などと表す。

同相な空間は、位相空間として同じ構造を持つと考える。

したがって、連結性、コンパクト性、ハウスドルフ性など、同相写像によって保存される性質を用いることで、2つの空間が同相でないことを示せる場合がある。

位相幾何学は、長さや角度ではなく、連続変形によって保存される性質を研究する分野として発展した。

19世紀にはオイラー、リーマン、ポアンカレらの研究を通して位相的な考え方が発展し、20世紀に位相空間が公理化されると、「位相的に同じ」であることが同相写像によって厳密に定義された。

開区間

(-1,1)

と実数全体 $\mathbb{R}$ を考える。

写像

f(x)=\tan\frac{\pi x}{2}

は $(-1,1)$ から $\mathbb{R}$ への全単射であり、 $f$ と $f^{-1}$ はともに連続である。

したがって、

(-1,1)\cong\mathbb{R}

である。

連続な全単射が必ず同相写像になるわけではない。

例えば、

f:[0,2\pi)\to S^1,\qquad f(t)=(\cos t,\sin t)

は連続な全単射であるが、逆写像は $(1,0)$ で連続ではない。

したがって $f$ は同相写像ではない。

同相は位相幾何学における空間の分類の基本的な同値関係である。

例えば円と正方形の周は同相であり、位相的には同じ1次元閉曲線として扱える。

一方、円と閉区間は同相ではない。このような違いを位相不変量によって判定することが位相幾何学の主要な問題となる。

f:\mathbb{R}\to(0,\infty),\qquad f(x)=e^x

が同相写像であることを示せ。

指数関数 $e^x$ は連続かつ狭義単調増加で、

f(\mathbb{R})=(0,\infty)

であるため全単射である。

逆写像は、

f^{-1}(y)=\log y

であり、 $(0,\infty)$ 上で連続である。

したがって $f$ は同相写像であり、

\mathbb{R}\cong(0,\infty)

である。