点列の収束

前提知識

• 集合
• 写像
• 位相空間
• 開集合
• 近傍

概要

位相空間 $(X,\mathcal{O})$ における点列

$$x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$$

を考える。

点列 $\{x_n\}$ が点 $x\in X$ に収束するとは、$x$ の任意の近傍 $U$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、

$$n\ge N \implies x_n\in U$$

となることをいう。

このとき、

$$x_n\to x$$

または

$$\lim_{n\to\infty}x_n=x$$

と書く。

距離空間 $(X,d)$ では、この定義は

$$\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ n\ge N\implies d(x_n,x)<\varepsilon$$

という通常の収束の定義と一致する。

一般の位相空間では、点列の収束先が一意であるとは限らない。一方、ハウスドルフ空間では収束する点列の極限は一意である。

また、一般の位相空間では、点列だけでは閉包などの位相的性質を完全には記述できない場合がある。このため、より一般にはネットやフィルターが用いられる。

歴史的経緯

数列の収束は解析学において古くから研究され、19世紀には極限概念が厳密化された。

位相空間の概念が20世紀初頭に確立すると、距離を用いず、近傍だけによって収束を定義できることが明確になった。

さらに一般の位相空間では点列だけでは位相を十分に捉えられないことから、ムーアとスミスによるネットや、フィルターを用いた収束概念が発展した。

例と反例

例

実数全体 $\mathbb{R}$ に通常の位相を入れ、

$$x_n=\frac1n$$

とする。

任意の $\varepsilon>0$ に対して十分大きな $n$ では

$$\left|\frac1n\right|<\varepsilon$$

となるため、

$$x_n\to0$$

である。

反例

非ハウスドルフ空間では極限が一意とは限らない。

例えば集合 $X$ に密着位相

$$\{\varnothing,X\}$$

を入れる。このとき任意の点 $x\in X$ の唯一の開近傍は $X$ である。

したがって任意の点列は $X$ のすべての点に収束する。

応用例

点列の収束は、連続写像、コンパクト性、距離化可能性などを研究する際に利用される。

特に距離空間では、連続性や閉集合を点列の収束だけで特徴づけることができる。

例題

問題

$\mathbb{R}$ に通常の位相を入れる。

$$x_n=\frac{2n+1}{n}$$

の極限を求めよ。

解答

$$x_n=2+\frac1n$$

である。

したがって、

$$\left|x_n-2\right|=\frac1n\to0$$

より、

$$x_n\to2$$

である。