連続写像

前提知識

位相空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ と $(Y,\mathcal{O}_Y)$ の間の写像

f:X\to Y

を考える。

$Y$ の任意の開集合 $V$ に対して、その逆像

f^{-1}(V)

が $X$ の開集合になるとき、 $f$ を連続写像という。

すなわち、

V\in\mathcal{O}_Y \implies f^{-1}(V)\in\mathcal{O}_X

である。

閉集合を用いて、

F\subset Y\text{ が閉集合} \implies f^{-1}(F)\subset X\text{ が閉集合}

と特徴づけることもできる。

連続写像

f:X\to Y,\qquad g:Y\to Z

の合成

g\circ f:X\to Z

も連続である。

連続関数は解析学において当初、実数上の極限を用いて定義されていた。

19世紀に極限の概念が厳密化され、20世紀に位相空間が公理化されると、開集合の逆像によって連続性を定義できることが基本的な枠組みとなった。

この定義は距離を必要とせず、非常に一般的な空間に適用できる。

恒等写像

\operatorname{id}_X:X\to X,\qquad \operatorname{id}_X(x)=x

は連続である。

実際、任意の開集合 $U\subset X$ に対して、

\operatorname{id}_X^{-1}(U)=U

である。

開集合の像が開集合になることは連続性の定義ではない。

例えば、

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^2

は連続であるが、

f((-1,1))=[0,1)

は $\mathbb{R}$ の開集合ではない。

連続写像は位相的構造を保つ写像の基本形であり、同相写像、ホモトピー、商空間などの定義に利用される。

また、コンパクト空間の連続像はコンパクトであり、連結空間の連続像は連結である。

位相空間 $X,Y,Z$ と連続写像

f:X\to Y,\qquad g:Y\to Z

に対して、 $g\circ f$ が連続であることを示せ。

$Z$ の任意の開集合 $U$ を取る。

$g$ は連続なので、

g^{-1}(U)

は $Y$ の開集合である。

さらに $f$ は連続なので、

f^{-1}(g^{-1}(U))

は $X$ の開集合である。

逆像の性質より、

(g\circ f)^{-1}(U) = f^{-1}(g^{-1}(U))

である。

したがって $g\circ f$ は連続である。