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定義：被覆ひふく

• 集合 $S$ とその部分集合族 $\{U_i\}_{i \in I}$ に対して、

$$\qquad S = \dbigcup_{i \in I} U_i$$

が成り立つとき、$\{U_i\}_{i \in I}$ を被覆ひふくと呼ぶ。

• 各 $U_i$ がすべて開集合であるとき、被覆 $\{U_i\}_{i \in I}$ を開被覆かいひふくと呼ぶ。

• 添字集合 $I$ が有限集合であるとき、被覆 $\{U_i\}_{i \in I}$ を有限被覆ゆうげんひふくと呼ぶ。

• 被覆 $\{U_i\}_{i \in I}$ の部分集合族 $\{U_j\}_{j \in J \subseteq I}$ が $X$ の被覆であるとき、$\{U_j\}_{j \in J \subseteq I}$ を部分被覆ぶぶんひふくと呼ぶ。

ある被覆がそれぞれの被覆の性質を兼ねる場合、その組み合わせに応じて部分開被覆、有限部分被覆、有限部分開被覆などと呼ぶ。

定義：コンパクト空間

位相空間 $X$ の任意の開被覆 $\mathcal U$ に対して、$\mathcal U$ に属する有限個の開集合 $U_1,U_2,\ldots,U_n$ が存在して、

$$X=U_1 \cup U_2 \cup \cdots \cup U_n$$

を満たすとき、$X$ をコンパクト空間と呼ぶ。

$(X,\O)$ を位相空間、$A$ をその部分集合とするとき、$A$ の任意の開被覆に対して、$A$ の有限部分被覆が存在するとき、コンパクト集合と呼ぶ。

また $X$ がコンパクト集合である

$S$ の任意の開被覆が $S$ の有限被覆を部分集合として含むとき、コンパクト空間と呼ぶ。

つまり、

$$\qquad S \text{ がコンパクト空間}$$ $$\qquad \defiff (\text{$S$の有限被覆}) \subseteq (\text{$\A S$の開被覆})$$

となる。

$(X,\O)$ を位相空間とし、$A \subseteq X$ とする。

$A$ の任意の開被覆 $\mathcal U$ に対し、有限部分被覆 $\mathcal U_0 \subseteq \mathcal U$ が存在するとき、$A$ をコンパクト集合と呼ぶ。

さらに、$X$ 自体がコンパクト集合であるとき、$(X,\O)$ をコンパクト空間と呼ぶ。

命題：

$$X \text{ がコンパクト} \implies X \text{ の任意の閉集合 } A \text{ はコンパクト}$$

命題：

ハウスドルフ空間 $X$ の部分集合 $A$ がコンパクト

$$\implies A \text{ は } X \text{ の閉集合。}$$

命題：

$A$ を $\R^n$ の部分集合とすとき、

$$A \text{ はコンパクト} \iff A \text{ は } \R^n \text{ の有界な閉集合。}$$

命題：

$X,Y$ を位相空間、$f \colon X \to Y$ を連続写像とするとき、

$$X \text{ がコンパクト} \implies f(X) \text{ はコンパクト}$$

命題：

命題：