ホモロジー群・基本群

前提知識

群、商群、位相空間、連続写像

概要

ホモロジー群と基本群は、位相空間の形を代数的な対象によって調べるための不変量である。

歴史的経緯

代数的位相幾何学では、空間を群などの代数的対象へ対応させる方法が発展した。

本文

ホモロジー群は通常 $H_i(X)=Z_i(X)/B_i(X)$ と定義する。基本群は基点 $x_0$ におけるループのホモトピー類からなる群 $\pi_1(X,x_0)$ である。

例と反例

円周 $S^1$ では $\pi_1(S^1)\cong\mathbb Z$。単連結空間では基本群は自明群になる。

応用例

空間の穴の検出、被覆空間、ホモトピー型の識別。

例題

$S^1$ の基本群が自明群ではないことの意味を説明せよ。