線形代数学 線形写像
定義：線形写像$K$ を体、$V,W$ を $K$ 上のベクトル空間とするとき、$\text{$(a,b \in K,\, x,y,z \in V$ である。)}$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$f(ax)=af(x)$同じ前提条件の...
代数学
線形代数学 線形代数学 体上のベクトル空間
体上のベクトル空間定義：体上たいじょうのベクトル空間くうかん$K$ を体とするとき、以下の性質を満たす集合 $V$ を $K$ 上のベクトル空間と呼ぶ。またこのとき、$K$ の元をスカラー、$V$ の元をベクトルと呼ぶ。$\text{$(a...
可換環論 加群のテンソル積【普遍性と一意性】
$R$-加群のテンソル積を定義するために、まずは$R$-双線形写像を定義する。定義1: $R$-双線形写像そうせんけいしゃぞう$R$を可換環、$M_1,\, M_2$を$R$-加群とするとき、$M_1 \times M_2$を定義域とする写...
ホモロジー代数学 前層、茎、層、芽
定義：前層（presheaf）集合論的な定義$X$ を集合、$\mathcal O$ を開集合系とし、$(X, \mathcal O)$ を位相空間とする。開集合 $U \in \mathcal O$ に対して、アーベル群 $F(U)$ を...
可換環論
核かくの普遍性ふへんせい（universal property of kernel）$M_1, M_2, N$を$R$-加群、$f, g$を$R$-線形写像、$\iota$を包含写像とするとき、$f \circ g = 0$が成り立つ$g$...
可換環論 環上の加群の直和とその普遍性
$R$-加群の直和を導入するために、まずは$R$-加群の直積を定義する。定義1: $R$-加群の直積ちょくせき命題1: $R$-加群の直積の$R$-加群$\dprod_{i \in I} M_i$を$R$-加群の直積ちょくせきと呼ぶ。命題1...
可換環論 環上の加群のテンソル積【その普遍性と一意性】
$R$-加群のテンソル積を定義するために、まずは$R$-双線形写像を定義する。定義1: $R$-双線形写像そうせんけいしゃぞう（$R$-bilinear maps）$R$を可換環、$M_1,\, M_2$を$R$-加群とするとき、$M_1 ...
可換環論 単元とイデアルの関係
環の単元とは、可逆元すなわち、逆元が存在するような元のことである。 定義1: 単元たんげん（unit） 以下の性質を満たす環 $R$ の元 $x,\, y$ に対して、$xy = 1_R$ となるとき、$x$ を単元たんげんと呼ぶ。 $$(...
可換環論 環とイデアルの定義
今回は、環・可換環・イデアルを定義し、その具体例を挙げたいと思う。定義1: 環かん以下の(i)～(ix)の性質を満たす代数系 $R$ を環かんと呼ぶ。また、それに加えて(x)を満たす環を可換環かかんかんと呼ぶ。(i). $(\A a, b ...
可換環論 整域の零イデアルは素イデアル
定理1: 整域の零イデアルは素イデアル$R$を整域とするとき、そのイデアル$\angle{0_R}_R$に対して、以下が成り立つ。$$\angle{0_R} \primeideal R$$整域の定義より、$$ab = \angle{0_R}...