階乗ℜ ( z ) \Re(z) ℜ ( z )
定義：ガンマ関数（実数ver.）
Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t ( x > 0 ) \Gamma(x) = \dint_0^\infty t^{x-1} \e^{-t} \dd t
\quad (x > 0) Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t ( x > 0 ) まずは、ガンマ関数が収束することを実際に示していく。
命題1：
Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) \Gamma(x+1) = x\Gamma(x) Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) 証明 Γ ( x + 1 ) = ∫ 0 ∞ t ( x + 1 ) − 1 e − t d t \Gamma(x+1)
= \dint_0^\infty t^{(x+1)-1} \e^{-t} \dd t Γ ( x + 1 ) = ∫ 0 ∞ t ( x + 1 ) − 1 e − t d t Γ ( x + 1 ) = ∫ 0 ∞ t x e − t d t \phantom{\Gamma(x+1)}
= \dint_0^\infty t^x \e^{-t} \dd t Γ ( x + 1 ) = ∫ 0 ∞ t x e − t d t 部分積分して、
\phantom{\Gamma(x+1)}
= \qty\big[t^x \qty\big(-\e^{-t})]_0^\infty
-\dint_0^\infty
\qty\big(
\qty\big(xt^{x-1})
\qty\big(-\e^{-t})
)
\dd t Γ ( x + 1 ) = 0 + x ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t \phantom{\Gamma(x+1)}
= 0 + x\dint_0^\infty t^{x-1} \e^{-t} \dd t Γ ( x + 1 ) = 0 + x ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) . □ \phantom{\Gamma(x+1)}
= x\Gamma(x).
\ \Box Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) . □ 命題：
x ∈ N ⟹ ならば x Γ ( x ) = ( x − 1 ) ! x \in \N \implies x\Gamma(x) = (x-1)! x ∈ N ⟹ ならば x Γ ( x ) = ( x − 1 )! 証明 n = 0 n=0 n = 0
Γ ( 0 + 1 ) = Γ ( 1 ) \qquad \Gamma(0+1) = \Gamma(1) Γ ( 0 + 1 ) = Γ ( 1 ) Γ ( 0 + 1 ) = ∫ 0 ∞ t 1 − 1 e − t d t \qquad \phantom{\Gamma(0+1)}
= \dint_0^\infty t^{1-1} \e^{-t} \dd t Γ ( 0 + 1 ) = ∫ 0 ∞ t 1 − 1 e − t d t Γ ( 0 + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t d t \qquad \phantom{\Gamma(0+1)}
= \dint_0^\infty \e^{-t} \dd t Γ ( 0 + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t d t \qquad \phantom{\Gamma(0+1)}
= \qty\big[-\e^{-t}]_0^\infty Γ ( 0 + 1 ) = ( − 0 ) − ( − 1 ) \qquad \phantom{\Gamma(0+1)}
= (-0)-(-1) Γ ( 0 + 1 ) = ( − 0 ) − ( − 1 ) Γ ( 0 + 1 ) = 1 \qquad \phantom{\Gamma(0+1)}
= 1 Γ ( 0 + 1 ) = 1 Γ ( 0 + 1 ) = 0 ! . \qquad \phantom{\Gamma(0+1)}
= 0!. Γ ( 0 + 1 ) = 0 ! . Γ ( x − 1 ) = ( x − 2 ) ! ⟹ ならば Γ ( x ) = ( x − 1 ) ! \Gamma(x-1)=(x-2)!
\implies
\Gamma(x)=(x-1)! Γ ( x − 1 ) = ( x − 2 )! ⟹ ならば Γ ( x ) = ( x − 1 )! 命題1より、
Γ ( x ) = x Γ ( x − 1 ) \qquad \Gamma(x) = x\Gamma(x-1) Γ ( x ) = x Γ ( x − 1 ) 仮定より、Γ ( x − 1 ) = ( x − 2 ) ! \Gamma(x-1)=(x-2)! Γ ( x − 1 ) = ( x − 2 )!
Γ ( x ) = x ⋅ ( x − 2 ) ! \qquad \phantom{\Gamma(x)}
= x \cdot (x-2)! Γ ( x ) = x ⋅ ( x − 2 )! Γ ( x ) = ( x − 1 ) ! . □ \qquad \phantom{\Gamma(x)}
= (x-1)!.
\ \Box Γ ( x ) = ( x − 1 )! . □ なぜ Γ ( x ) = x ! \Gamma(x) = x! Γ ( x ) = x ! この 1 1 1 ⇔ \Leftrightarrow ⇔
ドイツの古い論文では、ガンマ関数に相当するものを Π ( x ) : = x ! \Pi(x) := x! Π ( x ) := x ! ガンマ関数：特殊関数グラフィックスライブラリー Special Functions ）
実際、ドイツ人であるリーマンのリーマン予想の原型を述べた1859年の論文Π ( x ) = Γ ( x + 1 ) \Pi(x) = \Gamma(x+1) Π ( x ) = Γ ( x + 1 )
ちなみに、Γ ( x ) = x ! \Gamma(x) = x! Γ ( x ) = x !
Γ ( x ) : = ∫ 0 ∞ t x e − t d t ( x > 0 ) \Gamma(x) := \dint_0^\infty t^x \e^{-t} \dd t
\quad (x > 0) Γ ( x ) := ∫ 0 ∞ t x e − t d t ( x > 0 ) と定義すればよい。
例：
Γ ( 1 2 ) = π \Gamma\qty(\dfrac12) = \sqrt\pi Γ ( 2 1 ) = π 証明 Γ ( 1 2 ) = ∫ 0 ∞ t 1 2 − 1 e − t d t \qquad
\Gamma\qty(\dfrac12)
=
\dint_0^\infty
t^{\frac12-1}
\e^{-t}
\dd t Γ ( 2 1 ) = ∫ 0 ∞ t 2 1 − 1 e − t d t Γ ( 1 2 ) = ∫ 0 ∞ t − 1 2 e − t d t \qquad
\phantom{\Gamma\qty(\dfrac12)}
=
\dint_0^\infty
t^{-\frac12}
\e^{-t}
\dd t Γ ( 2 1 ) = ∫ 0 ∞ t − 2 1 e − t d t t = s 2 t=s^2 t = s 2 d t = 2 s d s \dd t=2s\dd s d t = 2 s d s
Γ ( 1 2 ) = ∫ 0 ∞ ( s 2 ) − 1 2 e − s 2 h v \qquad
\phantom{\Gamma\qty(\dfrac12)}
=
\dint_0^\infty
\qty(s^2)^{-\frac12}
\e^{-s^2}
hv Γ ( 2 1 ) = ∫ 0 ∞ ( s 2 ) − 2 1 e − s 2 h v Γ ( 1 2 ) = ∫ 0 ∞ s 2 ⋅ ( − 1 2 ) e − s 2 2 s d s \qquad
\phantom{\Gamma\qty(\dfrac12)}
=
\dint_0^\infty
s^{2\cdot(-\frac12)}
\e^{-s^2}
2s\dd s Γ ( 2 1 ) = ∫ 0 ∞ s 2 ⋅ ( − 2 1 ) e − s 2 2 s d s Γ ( 1 2 ) = ∫ 0 ∞ s − 1 e − s 2 2 s d s \qquad
\phantom{\Gamma\qty(\dfrac12)}
=
\dint_0^\infty
\cancel{s^{-1}}
\e^{-s^2}
2\cancel{s}
\dd s Γ ( 2 1 ) = ∫ 0 ∞ s − 1 e − s 2 2 s d s Γ ( 1 2 ) = 2 ∫ 0 ∞ e − s 2 d s \qquad
\phantom{\Gamma\qty(\dfrac12)}
=
2\dint_0^\infty
\e^{-s^2}
\dd s Γ ( 2 1 ) = 2 ∫ 0 ∞ e − s 2 d s f ( − s ) = e − ( − s ) 2 = e − s 2 f(-s)=\e^{-(-s)^2}=\e^{-s^2} f ( − s ) = e − ( − s ) 2 = e − s 2 f ( s ) = e − s 2 f(s)=\e^{-s^2} f ( s ) = e − s 2
Γ ( 1 2 ) = ∫ − ∞ ∞ e − s 2 d s \qquad
\phantom{\Gamma\qty(\dfrac12)}
=
\dint_{-\infty}^\infty
\e^{-s^2}
\dd s Γ ( 2 1 ) = ∫ − ∞ ∞ e − s 2 d s ガウス積分
∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = π a \dint_{-\infty}^\infty
\e^{-ax^2}
\dd x
=
\sqrt{\dfrac{\pi}{a}} ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = a π を用いて、
Γ ( 1 2 ) = π . □ \qquad
\phantom{\Gamma\qty(\dfrac12)}
=
\sqrt{\pi}.
\ \Box Γ ( 2 1 ) = π . □ 定義：ガンマ関数（複素数ver.）
Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t ( ℜ ( z ) > 0 ) \Gamma(z)
=
\dint_0^\infty
t^{z-1}
\e^{-t}
\dd t
\quad
(\Re(z)>0) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t ( ℜ ( z ) > 0 ) こちらも収束領域において、実際に収束することを示す。
命題：
B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) B(x,y)
=
\dfrac{\Gamma(x)\Gamma(y)}
{\Gamma(x+y)} B ( x , y ) = Γ ( x + y ) Γ ( x ) Γ ( y )