微分可能性とコーシー・リーマンの方程式

前提知識

複素数、偏導関数、全微分可能性、複素微分

概要

複素関数の微分可能性は実2変数関数としての微分可能性より強く、その条件を実部と虚部の偏導関数で表すのがコーシー・リーマンの方程式である。

歴史的経緯

コーシーとリーマンによる複素解析の発展の中で、正則性を実変数の偏微分方程式として特徴づける基本条件となった。

本文

$f(z)=u(x,y)+\i v(x,y)$ とする。コーシー・リーマンの方程式は

$\pdv{u}{x}=\pdv{v}{y},\qquad \pdv{u}{y}=-\pdv{v}{x}.$

$u,v$ が一点で全微分可能なら、そこで $f$ が複素微分可能であることとこの方程式が成り立つことは同値である。

例と反例

$f(z)=z^2$ はコーシー・リーマンの方程式を満たす。方程式が一点で成り立つだけでは、全微分可能性なしに複素微分可能性は保証されない。

応用例

正則関数の判定、調和関数、コーシーの積分定理。

例題

$f(z)=\overline z$ がどの点で複素微分可能か調べよ。