コーシーの積分定理

前提知識

複素積分、正則関数、単連結領域、コーシー・リーマンの方程式

概要

単連結領域上の正則関数を閉曲線に沿って積分すると積分値は $0$ になる。

歴史的経緯

コーシーによって複素積分論の基礎として確立され、その後の複素解析の多くの定理の出発点となった。

本文

定理：コーシーの積分定理

$D$ を単連結領域、$C$ を $D$ 内の区分的に滑らかな閉曲線、$f$ を $D$ 上の正則関数とするとき、

$\doint_C f(z)\dd z=0.$

単純閉曲線であることは定理そのものには本質的ではない。グリーンの定理による証明では単純閉曲線を仮定すると扱いやすい。

例と反例

$D=\mathbb C$ で $f(z)=z^2$ なら任意の閉曲線積分は $0$。一方、$D=\mathbb C\setminus\{0\}$、$f(z)=1/z$ では原点を一周する曲線について $2\pi\i\ne0$。

応用例

コーシーの積分公式、原始関数の存在、経路独立性、留数定理。

例題

$C:|z|=1$ に対して $\doint_C z^3\dd z$ を求めよ。