コーシーの積分公式

前提知識

複素積分、正則関数、コーシーの積分定理

正則関数の閉曲線内部での値を、閉曲線上の積分によって表す公式である。

19世紀の複素解析の形成において、コーシーの積分定理から導かれ、正則関数の強い性質を示す中心的公式となった。

$D$ を単連結領域、 $C$ を $D$ 内の正の向きの単純閉曲線、 $f$ を $D$ 上の正則関数とする。このとき $C$ の内部の点 $\alpha$ に対して、

$f(\alpha)=\dfrac1{2\pi\i}\doint_C\dfrac{f(z)}{z-\alpha}\dd z.$

この公式は、 $C$ の内部の値 $f(\alpha)$ が境界 $C$ 上の値によって決定されることを意味する。

$f(z)=1$ なら積分は $2\pi\i$ となり公式と一致する。 $\alpha$ が $C$ の外部にある場合には同じ形で $f(\alpha)$ を与えない。

高階導関数の積分表示、解析性、リウヴィルの定理、留数定理。

単位円 $C$ に対して $\doint_C\frac{e^z}{z}\dd z$ を求めよ。