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Mathetic Labฅ

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定理：

定義：ガンマ関数

\Gamma(z) = \dint_0^\infty t^{z-1}\e^{-t} \dd t \qquad \qty\big(\Re(z)>0)Γ(z)=lim⁡n→∞nzn!∏k=0n(z+k)\Gamma(z) = \dlim_{n \to \infty} \dfrac{n^z n!} {\dprod_{k=0}^n (z+k)}

定義：リーマン（の）ゼータ関数

\zeta(z) = \dsum_{n=1}^\infty \dfrac1{n^z} \qquad \qty\big(\Re(z)>1)

リーマンゼータ関数のガンマ関数を用いた積分表示を証明する。これは、関数等式を導くうえで非常に重要な式である。

定理：ゼータ関数の積分表示①

\zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dint_0^\infty \dfrac{u^{z-1}}{\e^u-1} \dd u \qquad \qty\big(\Re(z)>1)
証明Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt(ℜ(z)>0)\qquad \Gamma(z) = \dint_0^\infty t^{z-1}\e^{-t} \dd t \qquad (\Re(z)>0)

t=nut=nu とすると、dt=ndu\dd t=n\dd u であるから、

Γ(z)=∫0∞(nu)z−1e−nundu\qquad \phantom{\Gamma(z)} = \dint_0^\infty (nu)^{z-1}\e^{-nu} n\dd uΓ(z)=∫0∞nzn−1uz−1e−nundu\qquad \phantom{\Gamma(z)} = \dint_0^\infty n^z \cancel{n^{-1}} u^{z-1} \e^{-nu} \cancel{n} \dd uΓ(z)=∫0∞nzuz−1e−nudu\qquad \phantom{\Gamma(z)} = \dint_0^\infty n^z u^{z-1}\e^{-nu} \dd u

両辺を 1nz\dfrac1{n^z} で割って、

1nzΓ(z)=∫0∞uz−1e−nudu\qquad \dfrac1{n^z}\Gamma(z) = \dint_0^\infty u^{z-1}\e^{-nu} \dd u

ここで、両辺の和を取ると、

∑n=1∞1nzΓ(z)=∑n=1∞∫0∞uz−1e−nudu\qquad \dsum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{n^z} \Gamma(z) = \dsum_{n=1}^{\infty} \dint_0^\infty u^{z-1}\e^{-nu} \dd uΓ(z)∑n=1∞1nz=∑n=1∞∫0∞uz−1e−nudu(ℜ(z)>1)\qquad \Gamma(z) \dsum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{n^z} = \dsum_{n=1}^{\infty} \dint_0^\infty u^{z-1}\e^{-nu} \dd u \qquad (\Re(z)>1)

（ただし、リーマンゼータ関数の定義より、絶対収束するためには、ℜ(z)>0\Re(z)>0 から ℜ(z)>1\Re(z)>1 に狭める必要がある。）

Γ(z)ζ(z)=∑n=1∞∫0∞uz−1e−nudu\qquad \Gamma(z)\zeta(z) = \dsum_{n=1}^{\infty} \dint_0^\infty u^{z-1}\e^{-nu} \dd uζ(z)=1Γ(z)∑n=1∞∫0∞uz−1e−nudu\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dsum_{n=1}^{\infty} \dint_0^\infty u^{z-1}\e^{-nu} \dd u

現代解析では、自然数全体 N\mathbb{N} に数え上げ測度を入れると、

∑n=1∞f(n)=∫Nf(n) dμ(n)\dsum_{n=1}^\infty f(n) = \dint_{\mathbb{N}} f(n)\,d\mu(n)

とみなすことができる。したがって、

∑n=1∞∫0∞us−1e−nu du\dsum_{n=1}^\infty \dint_0^\infty u^{s-1}e^{-nu}\,du

は、

∫N∫0∞us−1e−nu du dμ(n)\dint_{\mathbb{N}} \dint_0^\infty u^{s-1}e^{-nu}\,du\,d\mu(n)

という重積分である。

さらに、

∑n=1∞∫0∞∣us−1e−nu∣ du=Γ(Re⁡(s))ζ(Re⁡(s))<∞(Re⁡(s)>1)\dsum_{n=1}^\infty \dint_0^\infty |u^{s-1}e^{-nu}|\,du = \Gamma(\operatorname{Re}(s)) \zeta(\operatorname{Re}(s)) <\infty \qquad (\operatorname{Re}(s)>1)

が成り立つので、フビニの定理（あるいはトネリの定理）より積分順序を交換できる。すなわち、

∑n=1∞∫0∞us−1e−nu du=∫0∞∑n=1∞us−1e−nu du\dsum_{n=1}^\infty \dint_0^\infty u^{s-1}e^{-nu}\,du = \dint_0^\infty \dsum_{n=1}^\infty u^{s-1}e^{-nu}\,du

となる。

ζ(z)=1Γ(z)∫0∞uz−1∑n=1∞e−nudu\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dint_0^\infty u^{z-1} \dsum_{n=1}^{\infty} \e^{-nu} \dd u\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dint_0^\infty u^{z-1} \dsum_{n=1}^{\infty} \qty\big(\e^{-u})^n \dd u

これは初項 \qty\big(\e^{-u})^1=\e^{-u}、公比 e−u\e^{-u} の等比級数であるから、等比級数の公式より、

ζ(z)=1Γ(z)∫0∞uz−1⋅1⋅e−u1−e−udu\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dint_0^\infty u^{z-1} \cdot \dfrac{1\cdot\e^{-u}}{1-\e^{-u}} \dd uζ(z)=1Γ(z)∫0∞uz−1⋅e−u1−e−u⋅eueudu\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dint_0^\infty u^{z-1} \cdot \dfrac{\e^{-u}}{1-\e^{-u}} \cdot \dfrac{\e^u}{\e^u} \dd uζ(z)=1Γ(z)∫0∞uz−1eu−1du.□\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dint_0^\infty \dfrac{u^{z-1}}{\e^u-1} \dd u. \quad \Box
証明Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt(ℜ(z)>0)\qquad \Gamma(z) = \dint_0^\infty t^{z-1}\e^{-t} \dd t \qquad (\Re(z)>0)

t=nut=nu とすると、dt=ndu\dd t=n\dd u であるから、

Γ(z)=∫0∞(nu)z−1e−nundu\qquad \phantom{\Gamma(z)} = \dint_0^\infty (nu)^{z-1}\e^{-nu} n\dd uΓ(z)=∫0∞nzn−1uz−1e−nundu\qquad \phantom{\Gamma(z)} = \dint_0^\infty n^z \cancel{n^{-1}} u^{z-1} \e^{-nu} \cancel{n} \dd uΓ(z)=∫0∞nzuz−1e−nudu\qquad \phantom{\Gamma(z)} = \dint_0^\infty n^z u^{z-1}\e^{-nu} \dd u

両辺を 1nz\dfrac1{n^z} で割って、

1nzΓ(z)=∫0∞uz−1e−nudu\qquad \dfrac1{n^z}\Gamma(z) = \dint_0^\infty u^{z-1}\e^{-nu} \dd u

ここで、両辺の和を取ると、

∑n=1∞1nzΓ(z)=∑n=1∞∫0∞uz−1e−nudu\qquad \dsum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{n^z} \Gamma(z) = \dsum_{n=1}^{\infty} \dint_0^\infty u^{z-1}\e^{-nu} \dd uΓ(z)∑n=1∞1nz=∑n=1∞∫0∞uz−1e−nudu(ℜ(z)>1)\qquad \Gamma(z) \dsum_{n=1}^{\infty} \dfrac1{n^z} = \dsum_{n=1}^{\infty} \dint_0^\infty u^{z-1}\e^{-nu} \dd u \qquad (\Re(z)>1)

（ただし、リーマンゼータ関数の定義より、絶対収束するためには、ℜ(z)>0\Re(z)>0 から ℜ(z)>1\Re(z)>1 に狭める必要がある。）

Γ(z)ζ(z)=∑n=1∞∫0∞uz−1e−nudu\qquad \Gamma(z)\zeta(z) = \dsum_{n=1}^{\infty} \dint_0^\infty u^{z-1}\e^{-nu} \dd uζ(z)=1Γ(z)∑n=1∞∫0∞uz−1e−nudu\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dsum_{n=1}^{\infty} \dint_0^\infty u^{z-1}\e^{-nu} \dd u

下の補題1により、N→∞N\to\infty とすると、∑n=1Ne−nu\dsum_{n=1}^N\e^{-nu} は ∑n=1∞e−nu\dsum_{n=1}^\infty\e^{-nu} に一様収束するため、**系：一様収束関数の極限の交換定理（無限和 ver.）**より、積分と総和を交換でき、さらに、uz−1u^{z-1} は総和の外に出すことができるから、

ζ(z)=1Γ(z)∫0∞uz−1∑n=1∞e−nudu\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dint_0^\infty u^{z-1} \dsum_{n=1}^{\infty} \e^{-nu} \dd u\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dint_0^\infty u^{z-1} \dsum_{n=1}^{\infty} \qty\big(\e^{-u})^n \dd u

これは初項 \qty\big(\e^{-u})^1=\e^{-u}、公比 e−u\e^{-u} の等比級数であるから、等比級数の公式より、

ζ(z)=1Γ(z)∫0∞uz−1⋅1⋅e−u1−e−udu\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dint_0^\infty u^{z-1} \cdot \dfrac{1\cdot\e^{-u}}{1-\e^{-u}} \dd uζ(z)=1Γ(z)∫0∞uz−1⋅e−u1−e−u⋅eueudu\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dint_0^\infty u^{z-1} \cdot \dfrac{\e^{-u}}{1-\e^{-u}} \cdot \dfrac{\e^u}{\e^u} \dd uζ(z)=1Γ(z)∫0∞uz−1eu−1du.□\qquad \zeta(z) = \dfrac1{\Gamma(z)} \dint_0^\infty \dfrac{u^{z-1}}{\e^u-1} \dd u. \quad \Box

補題1：

∑n=1Ne−nu\dsum_{n=1}^N \e^{-nu}

は [ε,∞)[\varepsilon,\infty) 上において、

∑n=1∞e−nu\dsum_{n=1}^\infty \e^{-nu}

に一様収束する。

証明

∑n=1Ne−nu\dsum_{n=1}^N\e^{-nu} は [ε,∞)[\varepsilon,\infty) で

∑n=1∞e−nu=1eu−1\dsum_{n=1}^\infty\e^{-nu} = \dfrac1{\e^u-1}

に一様収束。

ℜ(z)>1\Re(z)>1=lim⁡N→∞sup⁡u∈[ε,∞)∣∑n=1Ne−nu−∑n=1∞e−nu∣\qquad \mathrel{\phantom{=}} \dlim_{N\to\infty} \sup_{u\in[\varepsilon,\infty)} \left| \dsum_{n=1}^N\e^{-nu} - \dsum_{n=1}^\infty\e^{-nu} \right|\qquad = \dlim_{N\to\infty} \sup_{u\in[\varepsilon,\infty)} \bigl| \qty\big( \e^{-1\cdot u} +\e^{-2\cdot u} +\cdots +\e^{-Nu} ) - ( \e^{-1\cdot u} +\e^{-2\cdot u} +\cdots +\e^{-Nu} +\cdots ) \bigr|=lim⁡N→∞sup⁡u∈[ε,∞)∣e−(N+1)u+⋯ ∣\qquad = \dlim_{N\to\infty} \sup_{u\in[\varepsilon,\infty)} \left| \e^{-(N+1)u}+\cdots \right|=lim⁡N→∞sup⁡u∈[ε,∞)∣∑n=N+1∞e−nu∣\qquad = \dlim_{N\to\infty} \sup_{u\in[\varepsilon,\infty)} \left| \dsum_{n=N+1}^\infty \e^{-nu} \right|=lim⁡N→∞sup⁡u∈[ε,∞)∑n=N+1∞e−nu\qquad = \dlim_{N\to\infty} \sup_{u\in[\varepsilon,\infty)} \dsum_{n=N+1}^\infty \e^{-nu}

n>0n>0 より、e−nu\e^{-nu} は uu に関して単調減少関数であるから、u∈[ε,∞)u\in[\varepsilon,\infty) で最大値を取るのは ε\varepsilon のとき（u=0u=0 に限りなく近いとき）である。よって、

=lim⁡N→∞∑n=N+1∞e−nε\qquad = \dlim_{N\to\infty} \dsum_{n=N+1}^\infty \e^{-n\varepsilon}

これは初項 e−(N+1)u\e^{-(N+1)u}、公比 =e−u\dfrac{}{}=\e^{-u} の等比級数であるから、無限等比級数の公式より、

=lim⁡N→∞e−(N+1)u1−e−u\qquad = \dlim_{N\to\infty} \dfrac{\e^{-(N+1)u}} {1-\e^{-u}}=lim⁡N→∞e−Nu⋅e−u1−e−u\qquad = \dlim_{N\to\infty} \dfrac{\e^{-Nu}\cdot\e^{-u}} {1-\e^{-u}}=e−u1−e−ulim⁡N→∞e−Nu\qquad = \dfrac{\e^{-u}} {1-\e^{-u}} \dlim_{N\to\infty} \e^{-Nu}

これは e−Nu=1eNu\e^{-Nu}=\dfrac1{\e^{Nu}} と変形でき、lim⁡N→∞eNu=∞\dlim_{N\to\infty}\e^{Nu}=\infty が成り立つため、e−Nu=1eNu\e^{-Nu}=\dfrac1{\e^{Nu}} の分母が無限大に発散すると考えられる。よって、

=e−u1−e−u⋅0\qquad = \dfrac{\e^{-u}} {1-\e^{-u}} \cdot0=0.\qquad =0.

したがって、∑n=1Ne−nu\dsum_{n=1}^N\e^{-nu} は [ε,∞)[\varepsilon,\infty) 上において、∑n=1∞e−nu\dsum_{n=1}^\infty\e^{-nu} に一様収束する。□\quad\Box

定理：関数等式

ζ(s)=2sπs−1sin⁡(πs2)Γ(1−s)ζ(1−s)\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\dfrac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)
証明

定義：テータ関数

ϑ(z,τ):=∑n=−∞∞eπin2τ+2πinz\vartheta(z,\tau) := \dsum_{n=-\infty}^\infty \e^{\pi in^2\tau+2\pi inz}
ϑ(z+1,τ)=ϑ(z,τ)\vartheta(z+1,\tau) = \vartheta(z,\tau) ϑ(z+mτ+n,τ)=e−πim2τ−2πimzτ(z,τ)\vartheta(z+m\tau+n,\tau) = \e^{-\pi im^2\tau-2\pi imz} \tau(z,\tau)

定義：フーリエ変換

f^(x):=∫−∞∞f(t)e−2π−1xtdt\hat f(x) := \dint_{-\infty}^\infty f(t) \e^{-2\pi\sqrt{-1}xt} \dd t

定理：ポアソンの和公式

f,f^∈L1(R)f,\hat f\in L^1(\R) がシュワルツ関数であるとき、以下が成り立つ。

∑n∈Zf(n)=∑n∈Zf^(n)\qquad \dsum_{n\in\Z}f(n) = \dsum_{n\in\Z}\hat f(n)

定義：完備リーマンゼータ関数

ξ(z):=π−z2Γ(z2)ζ(z)\xi(z) := \pi^{-\frac{z}{2}} \Gamma\qty(\dfrac{z}{2}) \zeta(z)