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定理：テイラーの定理

$$f(a+h,b+k) = \dsum_{n=0}^\infty \dfrac1{n!} \qty( h\pdv x+k\pdv y )^n f(a,b) +R_n$$$$R_n = \dfrac1{n!} \left( h\dpdv x+k\dpdv y \right)^n f(a+\theta h,b+\theta k)$$

定義：テイラー展開

$$f(a+h,b+k) = \dsum_{n=0}^\infty \dfrac1{n!} \qty( h\pdv x+k\pdv y )^n f(a,b)$$

定義：停留点

$$f_x(a,b)=f_y(a,b)=0$$

を満たすような点 $(a,b)$ を $f$ の停留点と呼ぶ。

例：

1. $f(x,y)=y^2-x^3=0$

   

2. $f(x,y)=y^2+x^2(x+2)=0$

   

$$f_x(x,y)=-3x^2$$ $$f_y(x,y)=2y$$ $$f_x(x,y)=-3x^2=0$$ $$x=0$$ $$f_y(x,y)=2y=0$$ $$y=0$$

よって、$f(x,y)$ の停留点は $(0,0).$

$$f_x(x,y)=3x^2+4x$$ $$f_y(x,y)=2y$$ $$f_x(x,y)=3x^2+4x=0$$ $$x(3x+4)=0$$ $$x=0 \lor 3x+4=0$$ $$x=0,-\dfrac43$$ $$f_y(x,y)=2y=0$$ $$y=0$$

よって、$f(x,y)$ の停留点は

$$(0,0),\qty(-\dfrac43,0).$$

定義：ヘッセ行列（Hessian matrix）

$$H = \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{vmatrix}$$

定義：ヘッシアン

$$H = \begin{vmatrix} f_{xx}(a,b) & f_{xy}(a,b) \\ f_{xy}(a,b) & f_{yy}(a,b) \end{vmatrix} = f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)-f_{xy}^2(a,b)$$

命題：$2$ 変数関数の極値の判定

$H<0$ のとき点 $(a,b)$ で極値を取らない。

$H=0$ のとき点 $(a,b)$ が極値かどうか判定できない。

$H>0$ のとき点 $(a,b)$ で極値を取る。

例：

1. $y^2-x^2(x+2)=0$

2. $y^2-x^3=0$

$$D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$$ $$f(x,y)=y^2-x^3-2x^2$$ $$f_{xx}=-6x-4$$ $$f_{yy}=2$$ $$f_{xy}=0$$ $$D=(-6x-4)\cdot2-0^2$$ $$f_{xx}=-3\cdot2x$$ $$f_{yy}=$$ $$f_{xy}=$$

命題：$2$ 変数関数の極値の判定

$f_{xx}(a,b)>0$ のとき点 $(a,b)$ で極小値を取る。

$f_{xx}(a,b)<0$ のとき点 $(a,b)$ で極大値を取る。