テイラー級数展開・マクローリン級数展開

前提知識

高階導関数、べき級数、収束

概要

関数を一点の周りでべき級数として表す展開をテイラー級数展開と呼び、$a=0$ の場合をマクローリン級数展開と呼ぶ。

歴史的経緯

テイラーによる展開は局所的な関数の情報を多項式で表す方法として発展した。

本文

定義：テイラー級数展開

$\dsum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

$a=0$ の場合、

$\dsum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

をマクローリン級数展開と呼ぶ。

代表例：

$\e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1},\quad \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}.$

例と反例

$\e^x,\sin x,\cos x$ は全実数で展開が関数に一致する。一方、滑らかな関数でもテイラー級数が元の関数に一致しない場合がある。

応用例

近似計算、微分方程式、数値解析、複素解析。

例題

$\log(1+x)$ を $x=0$ の周りで展開せよ。