偏導関数と全微分可能性

前提知識

多変数関数、極限、1変数の微分

概要

偏導関数は一つの変数だけを変化させた微分であり、全微分可能性は全方向の変化を一つの線形写像で近似できる性質である。

歴史的経緯

多変数解析の発展に伴い、方向ごとの微分と全体としての微分可能性を区別する必要が生じた。

本文

$f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ が点 $a$ で全微分可能であるとは、線形写像 $A$ が存在して

$f(a+h)-f(a)=Ah+o(\|h\|)$

と表せることをいう。全微分可能なら各偏導関数は存在するが、偏導関数が存在するだけでは全微分可能とは限らない。

例と反例

$f(x,y)=x^2+y^2$ は全微分可能。原点で各偏導関数が存在しても全微分可能でない関数が存在する。

応用例

多変数テイラー展開、極値問題、陰関数定理、複素解析。

例題

$f(x,y)=x^2+xy+y^2$ の全微分を求めよ。