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$1$ 変数微分積分学には、「置換積分」という積分変数を別の変数で置き換えることで、計算を容易にする手法が存在した。本記事では、置換積分の多変数版である「重積分の変数変換」について解説する。

実 $1$ 変数関数 $f(x)$ の $x=g(t)$ による置換積分は、

$$\qquad \dint_a^b f(x) \dd x = \dint_\alpha^\beta f(g(t)) \ddv{x}{t} \dd t$$

で定義された。

これの実多変数関数 ver. とも呼べるものが「重積分」である。

定義：重積分

$I_1=[a,b],\, I_2=[c,d],\, D=I_1\times I_2$ とし、$f \colon D \to \R$ を有界な $2$ 変数関数とする。各区間を

$$\qquad a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_m=b,$$$$\qquad c=y_0<y_1<y_2<\cdots<y_n=d$$

かつ

$$D_{i,j} = [x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j] \qquad (1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n)$$

とすることで、$D$ を $mn$ 個の長方形領域に分ける。

さらに

$$\delta x_i=x_i-x_{i-1}, \qquad \delta y_j=y_j-y_{j-1}$$

とし、

$$|\delta| = \max \{ \delta x_i,\delta y_j \mid 1\leq i\leq m,\, 1\leq j\leq n \}$$

と定め、各領域から $t_{i,j}\in D_{i,j}$ を一つ選ぶ。

このときのリーマン和

$$\qquad \dsum_{\substack{ 1\leq i\leq m\\ 1\leq j\leq n }} f(t_{i,j}) \delta x_i \delta y_j$$

について、

$$\qquad \dlim_{|\delta|\to0^+} \dsum_{\substack{ 1\leq i\leq m\\ 1\leq j\leq n }} f(t_{i,j}) \delta x_i \delta y_j$$

が $\{D_{i,j}\},\{t_{i,j}\}$ によらず同じ値に収束するとき、その収束値を

$$\qquad \displaystyle \iint_D f(x,y)\dd x\dd y$$

とかき、これを $f$ の $D$ 上の重積分と呼ぶ。

定義：ヤコビ行列、ヤコビアン

定理：重積分の変数変換

$D\subseteq\R^2$ を $2$ 次元領域とし、$\phi,\psi\colon D\to\R$ は $C^1$ 級とする。

変数変換

$$x=\phi(u,v), \qquad y=\psi(u,v)$$

により、$xy$ 平面上の領域 $D$ と $uv$ 平面上の領域 $E$ が1対1に写り合っているとする。

このとき、$D$ 上広義積分可能な連続関数 $f(x,y)$ に対して、

$$\qquad \dint_D f(x,y) \dd x \dd y = \dint_E f(\phi(u,v),\psi(u,v)) \left| \dpdv{(x,y)}{(u,v)} \right| \dd u \dd v$$

が成り立つ。

証明

この定理におけるヤコビアン

$$\left| \dpdv{(x,y)}{(u,v)} \right|$$

は、$\ddv{x}{t}$ に対応する。