微分の線形性

前提知識

導関数、関数の和、定数倍

概要

微分作用素は加法とスカラー倍を保存する。

歴史的経緯

微分法の体系化に伴い、微分を線形作用素として扱う見方が解析学で基本となった。

本文

命題：微分の線形性

1. \qty\big(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)
2. \qty\big(af(x))'=af'(x)

例と反例

$f(x)=x^2, g(x)=\sin x$ は線形性を確認できる。積 $fg$ について $(fg)'=f'g'$ とはならない。

応用例

微分方程式、線形作用素、関数解析。

例題

$\qty(3x^2+2\sin x)'$ を線形性を用いて求めよ。