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「広義リーマン積分」とは、「リーマン積分」という単語が含まれているが、関数と積分区間によっては、リーマン積分よりも強力な「ルベーグ積分」でも積分不可能な関数を積分することも可能である。

それぞれがどのような性質による拡張なのかを表すと、以下の図のとおりである。

すなわち、「広義リーマン積分」と「ルベーグ積分」はそれぞれの適性がある。

広義リーマン積分では、関数と区間の組み合わせによって、多くの $\dint_{-\infty}^\infty f(x), \dint_a^\infty f(x), \dint_{-\infty}^b f(x)$ といった形の積分、が積分可能になる。

ルベーグ積分では、例えばディリクレ関数

$$f(x) = \begin{cases} 1 \quad (x \in \Q) \\ 0 \quad (x \in \R \setminus \Q) \end{cases}$$

が積分可能であり、

命題：

命題：絶対収束する広義リーマン積分はルベーグ積分可能

定義：広義リーマン積分

$$\qquad \dint_a^\infty f(x) \dd x := \dlim_{t \to \infty} \dint_a^t f(x) \dd x$$$$\qquad \dint_{-\infty}^b f(x) \dd x := \dlim_{t \to -\infty} \dint_t^b f(x) \dd x$$$$\qquad \dint_{-\infty}^\infty f(x) \dd x := \dlim_{t \to -\infty} \dint_t^a f(x) \dd x + \dlim_{t \to \infty} \dint_a^t f(x) \dd x$$$$\qquad \dint_a^b f(x) \dd x := \dlim_{t \to b^-} \dint_a^t f(x) \dd x, \qquad \text{ここで } \dlim_{x \to b^-} \bigl|f(x)\bigr| = \infty$$$$\qquad \dint_a^b f(x) \dd x := \dlim_{t \to a^+} \dint_t^b f(x) \dd x, \qquad \text{ここで } \dlim_{x \to a^+} \bigl|f(x)\bigr| = \infty$$$$\qquad \dint_a^b f(x) \dd x := \dlim_{t \to c^-} \dint_a^t f(x) \dd x + \dlim_{t \to c^+} \dint_t^b f(x) \dd x, \qquad \text{ここで } \dlim_{x \to c} \bigl|f(x)\bigr| = \infty$$