ガウス積分

前提知識

ガンマ関数、広義積分、置換積分

概要

ガウス積分は指数関数 $\e^{-ax^2}$ の実数全体にわたる広義積分を評価する公式である。

歴史的経緯

ガウス積分は確率論・解析学・物理学で基本的な役割を持つ。

本文

$a>0$ のとき $\dint_{-\infty}^{\infty}\e^{-ax^2}\dd x=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}$。

例と反例

$a>0$ は収束する。$a\le0$ では同じ広義積分は収束しない。

応用例

正規分布の正規化、熱方程式、フーリエ変換。

例題

$\dint_{-\infty}^{\infty}\e^{-2x^2}\dd x$ を求めよ。