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定義：各点収束

定義：一様収束

\A \varepsilon > 0,\, \E N \in \N,\, \A x \in \R,\, \A n \in \N,\, \qty\big[ n \geq N \implies \bigl|f_n(x)-f(x)\bigr| < \varepsilon \big]

$f_N(x)=\dsum_{n=1}^N g_n(x)$ とすると、$\dsum_{n=1}^N g_n(x)$ が $g(x)$ に収束すれば、

$$\dint_a^b \dlim_{N \to \infty} \left( \dsum_{n=1}^N g_n(x) \right) \dd x = \dlim_{N \to \infty} \dint_a^b \left( \dsum_{n=1}^N g_n(x) \right) \dd x$$

定理：一様収束関数の極限の交換定理

実関数の関数列 $f_n(x)$ が実関数 $f(x)$ に一様収束するとき、

$$\qquad \dint_a^b \dlim_{n \to \infty} f_n(x) \dd x = \dlim_{n \to \infty} \dint_a^b f_n(x) \dd x$$

が成り立つ。

証明

系：一様収束関数の極限の交換定理（無限和 ver.）

実関数の関数列

$$f_n(x) = \dsum_{n=1}^N g_n(x)$$

が実関数 $f(x)$ に一様収束するとき、

$$\qquad \dint_a^b \left( \dsum_{n=1}^\infty g_n(x) \right) \dd x = \dsum_{n=1}^\infty \dint_a^b g_n(x) \dd x$$

が成り立つ。

証明

定義：絶対収束