連続関数

前提知識

複素関数 $f$ が点 $z_0$ で連続であるとは、

\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)

が成り立つことをいう。

$\varepsilon$ - $\delta$ を用いれば、任意の $\varepsilon>0$ に対して、ある $\delta>0$ が存在し、

|z-z_0|<\delta

ならば、

|f(z)-f(z_0)|<\varepsilon

となることと同値である。

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 、 $z=x+iy$ とする。このとき $f$ が $z_0=x_0+iy_0$ で連続であることは、実関数 $u,v$ が $(x_0,y_0)$ でともに連続であることと同値である。

また、連続関数 $f,g$ に対して、 $f+g$ 、 $fg$ は連続であり、 $g(z_0)\neq0$ ならば $f/g$ も $z_0$ で連続である。

連続性は微積分学の成立当初から直観的に用いられていたが、現代的な厳密性は19世紀に形成された。

コーシーは極限と連続性を体系的に扱い、その後ワイエルシュトラスらによって $\varepsilon$ - $\delta$ に基づく定式化が確立した。

複素解析では、実変数の場合の連続性を複素平面上の距離 $|z-z_0|$ を用いて自然に拡張する。

f(z)=z^2

は複素平面全体で連続である。

実際、

|z^2-z_0^2| = |z-z_0||z+z_0|

であり、 $z\to z_0$ のとき右辺は $0$ に収束する。

f(z)= \begin{cases} \dfrac{z}{|z|}, & z\neq0,\\ 0, & z=0 \end{cases}

を考える。

正の実軸上から $z\to0$ とすると $f(z)=1$ である一方、正の虚軸上から近づくと $f(z)=i$ である。

したがって、

\lim_{z\to0}f(z)

は存在せず、 $f$ は $0$ で連続ではない。

連続性は複素微分、複素積分、正則関数の理論を構築するための基本概念である。

特に正則関数は連続であり、積分路上の連続性は複素線積分を定義する際にも必要となる。

f(z)=z\overline z

が複素平面全体で連続であることを示せ。

$z=x+iy$ とすると、

z\overline z=x^2+y^2

である。

したがって、

f(z)=x^2+y^2

であり、実部は連続な実関数 $x^2+y^2$ 、虚部は定数関数 $0$ である。

よって $f$ は $\mathbb{C}$ 全体で連続である。