連続性

前提知識

位相空間 $X,Y$ と写像

f:X\to Y

を考える。

$f$ が点 $x\in X$ で連続であるとは、 $f(x)$ の任意の近傍 $V$ に対して、 $x$ のある近傍 $U$ が存在し、

f(U)\subset V

となることをいう。

同値な形として、 $f(x)$ の任意の近傍 $V$ に対して、

U\subset f^{-1}(V)

を満たす $x$ の近傍 $U$ が存在すると表せる。

$f$ が $X$ のすべての点で連続であるとき、 $f$ は $X$ 上で連続であるという。

これは、 $Y$ の任意の開集合 $V$ に対して、

f^{-1}(V)

が $X$ の開集合であることと同値である。

距離空間 $(X,d_X)$ と $(Y,d_Y)$ の場合、点 $x$ における連続性は、

\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ d_X(x,x')<\delta \implies d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon

という $\varepsilon$ - $\delta$ による定義と一致する。

連続性は微積分学の成立当初から中心的な概念だったが、初期には直観的に扱われることも多かった。

19世紀にコーシーやワイエルシュトラスらによって極限と連続性が厳密化され、距離を用いる $\varepsilon$ - $\delta$ 的な定式化が確立した。

20世紀に位相空間が公理化されると、近傍や開集合の逆像だけで連続性を記述できることが明確になり、距離を持たない空間にも連続性の概念が拡張された。

$\mathbb{R}$ に通常の位相を入れ、

f(x)=x^2

とする。

$f$ は通常の実解析において連続であるため、位相的な意味でも $\mathbb{R}$ のすべての点で連続である。

写像がある点で連続であることから、空間全体で連続であるとは限らない。

例えば、

f(x)= \begin{cases} 0, & x\le0,\\ 1, & x>0 \end{cases}

は $x\neq0$ では連続だが、 $x=0$ では連続でない。

したがって $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は連続写像ではない。

連続性は、位相的構造を保つ写像を理解するための基本概念である。

同相写像は連続な全単射で逆写像も連続な写像として定義される。また、コンパクト性や連結性など多くの位相的性質は連続写像によって保存される。

位相空間 $X,Y$ と写像 $f:X\to Y$ について、 $f$ が連続ならば任意の閉集合 $F\subset Y$ に対して $f^{-1}(F)$ が $X$ の閉集合であることを示せ。

$F$ が閉集合なので、

Y\setminus F

は開集合である。

$f$ は連続であるから、

f^{-1}(Y\setminus F)

は $X$ の開集合である。

逆像は補集合と可換なので、

f^{-1}(Y\setminus F) = X\setminus f^{-1}(F)

である。

したがって $X\setminus f^{-1}(F)$ は開集合であり、

f^{-1}(F)

は閉集合である。