リーマン予想

素数定理

$$\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$$

ゼータ関数

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$

オイラー積

$$\zeta(s) = \prod_{p\text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}$$

また、

$$\frac{1}{1-p^{-s}} = 1+p^{-s}+p^{-2s}+p^{-3s}+\cdots$$

複素数のリーマンゼータ関数

$\sigma=\operatorname{Re}(s)$、$t=\operatorname{Im}(s)$ とし、

$$s=\sigma+it$$

とする。

すると

$$n^{-s} = n^{-(\sigma+it)} = n^{-\sigma}e^{-it\log n}$$

である。

Euler の公式より、

$$e^{-it\log n} = \cos(t\log n)-i\sin(t\log n)$$

したがって、

$$\left|e^{-it\log n}\right|=1$$

なので、

$$|n^{-s}|=n^{-\sigma}$$

となる。

よって、

$$\sum_{n=1}^{\infty}|n^{-s}| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^\sigma}$$

である。

$p$ 級数

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}$$

は

$$p>1$$

のとき収束するので、

$$\operatorname{Re}(s)>1$$

ならば

$$\sum_{n=1}^{\infty}|n^{-s}|$$

は収束する。