整域の零イデアルは素イデアル

前提知識

• 環と可換環
• イデアル
• 零イデアル
• 素イデアル
• 整域
• 零因子

概要

整域とは、零因子を持たない非零可換環である。

したがって、$R$ が整域ならば、

$$ab=0_R$$

が成り立つとき、

$$a=0_R \quad\text{または}\quad b=0_R$$

が成り立つ。

一方、零イデアル

$$(0)=\{0_R\}$$

について、

$$ab\in(0)$$

であることは

$$ab=0_R$$

であることと同値である。

したがって、

$$ab\in(0) \implies a\in(0)\ \text{または}\ b\in(0)$$

となり、これは素イデアルの定義そのものである。

歴史的経緯

整域は、整数環 $\mathbb Z$ が持つ「零でない元どうしを掛けても零にならない」という性質を抽象化した概念である。

一方、素イデアルは整数における素数の性質を一般の可換環へ拡張したものである。

整域と素イデアルの関係

$$R\text{ が整域} \iff (0)\text{ が素イデアル}$$

は、環そのものの乗法構造を零イデアルの性質として言い換える基本的な特徴づけである。

零イデアル

定義

環 $R$ において、

$$\boxed{ (0):=\{0_R\} }$$

を 零イデアル という。

これは $0_R$ によって生成される主イデアルでもあり、

$$(0) = R0_R = \{0_R\}$$

である。

整域

定義

$R$ を非零可換環とする。

任意の $a,b\in R$ に対して、

$$ab=0_R \implies a=0_R\lor b=0_R$$

が成り立つとき、$R$ を 整域 という。

これは「$R$ が零因子を持たない」ことと同値である。

整域の零イデアル

定理：整域の零イデアルは素イデアル

$R$ を整域とする。

このとき、零イデアル $(0)$ は $R$ の素イデアルである。

すなわち、

$$\boxed{ (0)\primeideal R }$$

が成り立つ。

証明

$R$ は整域なので、任意の $a,b\in R$ に対して、

$$ab=0_R \implies a=0_R\lor b=0_R$$

が成り立つ。

零イデアルは

$$(0)=\{0_R\}$$

なので、

$$ab\in(0) \iff ab=0_R.$$

したがって、

$$ab\in(0) \implies a=0_R\lor b=0_R.$$

さらに、

$$a=0_R \iff a\in(0),$$ $$b=0_R \iff b\in(0)$$

であるから、

$$ab\in(0) \implies a\in(0)\lor b\in(0).$$

また、整域は非零環なので、

$$(0)\neq R.$$

よって $(0)$ は真のイデアルであり、素イデアルの定義を満たす。

したがって、

$$\boxed{ (0)\primeideal R }.$$

$\Box$

逆も成り立つ

定理：零イデアルによる整域の特徴づけ

$R$ を可換環とする。

このとき、

$$\boxed{ R\text{ が整域} \iff (0)\text{ が素イデアル} }$$

が成り立つ。

証明

「$\implies$」は上で証明した。

逆に、

$$(0)\primeideal R$$

とする。

素イデアルは真のイデアルなので、

$$(0)\neq R.$$

したがって $R$ は非零環である。

また、

$$ab=0_R$$

とすると、

$$ab\in(0).$$

$(0)$ は素イデアルなので、

$$a\in(0) \lor b\in(0).$$

したがって、

$$a=0_R \lor b=0_R.$$

よって $R$ は零因子を持たない非零可換環であるから、整域である。$\Box$

商環による一般化

この定理は、素イデアルと整域のより一般的な関係の特殊な場合である。

定理

$R$ を可換環、$\mathfrak p$ を $R$ のイデアルとする。

このとき、

$$\boxed{ \mathfrak p\primeideal R \iff R/\mathfrak p\text{ が整域} }$$

が成り立つ。

零イデアル

$$\mathfrak p=(0)$$

の場合、

$$R/(0)\cong R$$

なので、

$$(0)\primeideal R \iff R\text{ が整域}$$

が得られる。

したがって、「整域の零イデアルは素イデアル」という定理は、素イデアルを商環によって特徴づける定理の最も基本的な場合である。

例と反例

例：整数環

$$\mathbb Z$$

は整域なので、

$$(0)\primeideal\mathbb Z.$$

実際、

$$ab=0$$

となる整数 $a,b$ に対して、

$$a=0 \lor b=0$$

が成り立つ。

例：多項式環

$K$ を体とすると、

$$K[x]$$

は整域である。

したがって、

$$(0)\primeideal K[x].$$

反例：$\mathbb Z/6\mathbb Z$

$$\mathbb Z/6\mathbb Z$$

では、

$$[2][3]=[0]$$

であるにもかかわらず、

$$[2]\neq[0], \qquad [3]\neq[0].$$

したがって $\mathbb Z/6\mathbb Z$ は整域ではない。

零イデアルについても、

$$[2][3]\in(0)$$

である一方、

$$[2]\notin(0), \qquad [3]\notin(0)$$

なので、

$$(0)$$

は素イデアルではない。

応用例

この定理は、次のような場面で利用される。

• ある環が整域であることのイデアル論的な判定
• 素イデアルの具体例の構成
• 商環が整域になる条件の理解
• $\Spec R$ の研究
• 可換環論
• 代数幾何学

特に、

$$\mathfrak p\primeideal R \iff R/\mathfrak p\text{ が整域}$$

という特徴づけによって、素イデアルの問題を商環の零因子の問題へ変換できる。

例題

例題1

$\mathbb Z$ の零イデアルが素イデアルであることを示せ。

解答

$\mathbb Z$ は整域である。

したがって、整域の零イデアルは素イデアルであるという定理より、

$$\boxed{ (0)\primeideal\mathbb Z }.$$

例題2

$\mathbb Z/4\mathbb Z$ の零イデアルが素イデアルでないことを示せ。

解答

$\mathbb Z/4\mathbb Z$ では、

$$[2][2]=[0]$$

である。

しかし、

$$[2]\neq[0].$$

したがって、

$$[2][2]\in(0)$$

であるにもかかわらず、

$$[2]\notin(0).$$

よって素イデアルの条件を満たさず、

$$\boxed{ (0)\text{ は素イデアルではない} }.$$

例題3

可換環 $R$ の零イデアル $(0)$ が素イデアルであるとする。$R$ が整域であることを示せ。

解答

$$ab=0_R$$

とする。

すると、

$$ab\in(0).$$

$(0)$ は素イデアルなので、

$$a\in(0) \lor b\in(0).$$

したがって、

$$a=0_R \lor b=0_R.$$

また $(0)$ は真のイデアルなので $R$ は非零環である。

よって、

$$\boxed{ R\text{ は整域である} }.$$