単元とイデアルの関係

前提知識

• 環と可換環
• 乗法単位元
• 逆元
• 群
• イデアル
• 真のイデアル
• 素イデアル
• 極大イデアル

概要

環の元のうち、乗法に関する逆元を持つものを単元という。

単元とイデアルの間には重要な関係がある。イデアル $I$ が単元を1つでも含めば、単元の逆元を掛けることで

$$1_R\in I$$

となる。その結果、任意の $a\in R$ が $I$ に属するため、

$$I=R$$

となる。

したがって、真のイデアルは単元を含まない。特に、素イデアルや極大イデアルは真のイデアルなので単元を含まない。

歴史的経緯

単元とイデアルは環論における基本概念である。

イデアルの概念は19世紀の代数的整数論において発展し、その後一般の環へ抽象化された。単元は環の乗法構造を調べる基本的な対象であり、単元群は整数環、局所環、代数的整数論などで重要な役割を持つ。

単元

環の単元とは、可逆元、すなわち乗法に関する逆元が存在する元のことである。

定義：単元

$R$ を単位的環とする。

$x\in R$ に対して、ある $y\in R$ が存在して

$$xy=yx=1_R$$

が成り立つとき、$x$ を 単元 と呼ぶ。

このとき $y$ を $x$ の逆元と呼び、

$$y=x^{-1}$$

と書く。

$R$ が可換環の場合には、

$$xy=1_R$$

だけを確認すれば

$$yx=1_R$$

も自動的に成り立つ。

例

整数環

$\mathbb Z$ の単元は

$$1,\ -1$$

だけである。

したがって、

$$\mathbb Z^\times = \{1,-1\}.$$

体

体 $K$ では、$0$ 以外のすべての元が逆元を持つため、

$$K^\times = K\setminus\{0\}.$$

多項式環

体 $K$ 上の一変数多項式環 $K[x]$ の単元は、$0$ でない定数多項式である。

注意

「すべての可換環における共通の単元は乗法単位元のみ」という表現は適切ではない。

たとえば任意の単位的環では

$$1_R$$

だけでなく

$$-1_R$$

も単元であり、

$$(-1_R)^2=1_R$$

が成り立つ。

単元全体は環によって異なる。

単元群

命題：単元は群をなす

$R$ の単元全体を

$$R^\times$$

とする。

このとき、$R^\times$ は $R$ の乗法について群をなす。

証明

まず、

$$1_R\in R^\times$$

である。

$x,y\in R^\times$ とすると、

$$(xy)(y^{-1}x^{-1}) = x(yy^{-1})x^{-1} = 1_R$$

かつ

$$(y^{-1}x^{-1})(xy) = 1_R$$

なので、

$$xy\in R^\times.$$

また $x\in R^\times$ ならば、その逆元 $x^{-1}$ も単元である。

結合律は環の乗法の結合律から従う。

したがって $R^\times$ は群をなす。$\Box$

定義：単元群

群

$$\boxed{R^\times}$$

を $R$ の 単元群 と呼ぶ。

$R$ が可換環ならば、$R^\times$ はアーベル群である。

単元とイデアル

命題：単元を含むイデアル

$R$ を単位的環、$I$ を $R$ のイデアルとする。

$x\in R^\times$ に対して、

$$\boxed{ x\in I \implies I=R }$$

が成り立つ。

証明

$x\in I$ を単元とする。

$x$ は単元なので、

$$x^{-1}\in R$$

が存在する。

$I$ はイデアルであるから、$x\in I$ に $x^{-1}\in R$ を掛けると、

$$x^{-1}x\in I.$$

したがって、

$$1_R\in I.$$

任意の $a\in R$ に対して、再びイデアルの性質より、

$$a1_R\in I.$$

ところが、

$$a1_R=a$$

なので、

$$a\in I.$$

$a\in R$ は任意であるから、

$$R\subseteq I.$$

一方、$I$ は $R$ のイデアルなので、

$$I\subseteq R.$$

したがって、

$$\boxed{I=R}.$$

$\Box$

真のイデアルと単元

上の命題の対偶を取ると、

$$\boxed{ I\neq R \implies I\cap R^\times=\varnothing }$$

を得る。

したがって、真のイデアルは単元を1つも含まない。

逆に、$I=R$ ならば当然

$$1_R\in I$$

であり、$1_R$ は単元である。

したがって、

$$\boxed{ I=R \iff I\cap R^\times\neq\varnothing }$$

が成り立つ。

同値に、

$$\boxed{ I\subsetneq R \iff I\cap R^\times=\varnothing }$$

である。

素イデアルと単元

系：素イデアルは単元を含まない

$R$ を可換環、$\mathfrak p\in\Spec R$ とする。

このとき、

$$\boxed{ \mathfrak p\cap R^\times = \varnothing }$$

である。

すなわち、

$$(\forall x\in R^\times) \quad x\notin\mathfrak p.$$

証明

素イデアルの定義より、

$$\mathfrak p\subsetneq R.$$

したがって、

$$\mathfrak p\neq R.$$

真のイデアルは単元を含まないので、

$$\mathfrak p\cap R^\times = \varnothing.$$

よって、任意の $x\in R^\times$ に対して、

$$x\notin\mathfrak p.$$

$\Box$

極大イデアルと単元

極大イデアル $\mathfrak m$ も定義上、

$$\mathfrak m\subsetneq R$$

を満たす真のイデアルである。

したがって、

$$\boxed{ \mathfrak m\cap R^\times = \varnothing }$$

である。

これは「極大イデアルならば素イデアル」という事実を経由しなくても、単元を含むイデアルは $R$ 全体になるという命題から直接従う。

単元と主イデアル

命題

$x\in R$ に対して、

$$\boxed{ x\in R^\times \iff (x)=R }$$

が成り立つ。

ここで $(x)$ は $x$ によって生成される主イデアルである。

証明

$x\in R^\times$ とする。

すると、

$$1_R=x^{-1}x\in(x)$$

なので、

$$(x)=R.$$

逆に、

$$(x)=R$$

とする。

すると、

$$1_R\in(x)$$

なので、ある $a\in R$ が存在して

$$1_R=ax.$$

可換環ならば

$$xa=1_R$$

でもあるため、$x$ は単元である。

したがって、

$$x\in R^\times \iff (x)=R.$$

$\Box$

例と反例

例：$\mathbb Z$

$\mathbb Z$ の単元は

$$\pm1$$

である。

実際、

$$(1)=(-1)=\mathbb Z.$$

一方、

$$(2)=2\mathbb Z \subsetneq \mathbb Z$$

なので、$2$ は単元ではない。

例：体

体 $K$ では任意の $a\neq0$ が単元である。

したがって、$a\neq0$ に対して、

$$(a)=K.$$

このことから、体のイデアルは

$$(0),\quad K$$

だけであることも分かる。

反例：非単元を含んでも環全体になるとは限らない

$\mathbb Z$ のイデアル

$$2\mathbb Z$$

は非単元 $2$ を含むが、

$$2\mathbb Z\neq\mathbb Z.$$

したがって、「イデアルが何らかの非零元を含めば環全体になる」という主張は一般には成り立たない。

重要なのは、その元が単元であることである。

応用例

単元とイデアルの関係は、環論のさまざまな議論で用いられる。

• 真のイデアルの判定
• 素イデアル・極大イデアルの性質
• 主イデアル $(x)$ が環全体になる条件
• 局所環における単元の特徴づけ
• スペクトル $\Spec R$ の研究
• 局所化
• 可換環論・代数幾何学

特に局所環では、非単元全体が唯一の極大イデアルをなすという重要な特徴づけがある。

例題

例題1

$I$ を単位的環 $R$ のイデアルとし、

$$1_R\in I$$

とする。

$I$ を求めよ。

解答

任意の $a\in R$ に対して、

$$a=a1_R.$$

$I$ はイデアルで $1_R\in I$ なので、

$$a1_R\in I.$$

したがって任意の $a\in R$ が $I$ に属し、

$$\boxed{I=R}.$$

例題2

$\mathfrak p$ を可換環 $R$ の素イデアルとする。

$x\in\mathfrak p$ ならば $x$ が単元ではないことを示せ。

解答

仮に $x$ が単元ならば、単元を含むイデアルは環全体に一致するので、

$$\mathfrak p=R$$

となる。

しかし素イデアルは真のイデアルなので、

$$\mathfrak p\neq R.$$

矛盾する。

したがって、

$$\boxed{x\notin R^\times}.$$

例題3

$x\in R$ について、

$$(x)=R$$

ならば $x$ が単元であることを示せ。

解答

$(x)=R$ なので、

$$1_R\in(x).$$

したがって、ある $a\in R$ が存在して

$$1_R=ax.$$

$R$ が可換環ならば、

$$xa=1_R$$

でもある。

よって $a=x^{-1}$ であり、

$$\boxed{x\in R^\times}.$$