環とイデアルの定義

前提知識

• 集合と写像
• 二項演算
• 群とアーベル群
• 部分群
• 整数・有理数・実数・複素数
• 行列と多項式

概要

環とは、加法と乗法という2つの演算を備え、加法についてアーベル群をなし、乗法について結合律を満たし、さらに加法と乗法の間に分配律が成り立つ代数系である。

この記事では乗法単位元 $1_R$ を持つ環を環とする。

さらに乗法が可換である環を可換環という。

一方、環 $R$ の部分集合 $I$ が加法について部分群をなし、環の任意の元を掛けても $I$ の中にとどまるとき、$I$ をイデアルという。

イデアルは整数における「倍数」の概念を一般の環へ拡張したものと考えることができる。

歴史的経緯

環とイデアルの概念は、19世紀の代数的整数論を背景として発展した。

特にイデアルの概念は、代数的整数の一意分解が一般には成り立たない問題を扱う過程で、クンマーの「理想数」の考え方を経てデデキントによって体系化された。

その後、ヒルベルトやネーターらによって抽象的な環論が発展し、現在では可換環論、代数幾何学、代数的整数論などの基礎概念となっている。

環

定義：環

集合 $R$ に加法

$$+\colon R\times R\to R$$

と乗法

$$\cdot\colon R\times R\to R$$

が定められているとする。

以下の性質を満たす代数系 $(R,+,\cdot)$ を 環 と呼ぶ。

加法について

任意の $a,b,c\in R$ に対して、

1. 加法閉性

   $$a+b\in R.$$

2. 加法結合律

   $$a+(b+c)=(a+b)+c.$$

3. 加法単位律

   ある $0_R\in R$ が存在して、

   $$a+0_R=0_R+a=a.$$

4. 加法逆元の存在

   任意の $a\in R$ に対して、ある $-a\in R$ が存在し、

   $$a+(-a)=(-a)+a=0_R.$$

5. 加法可換律

   $$a+b=b+a.$$

すなわち、

$$(R,+)$$

はアーベル群である。

乗法について

任意の $a,b,c\in R$ に対して、

6. 乗法閉性

   $$ab\in R.$$

7. 乗法結合律

   $$a(bc)=(ab)c.$$

8. 乗法単位律

   ある $1_R\in R$ が存在して、

   $$1_Ra=a1_R=a.$$

分配律

9. 左分配律

   $$a(b+c)=ab+ac.$$

10. 右分配律

$$(a+b)c=ac+bc.$$

この記事では、このように乗法単位元を持つ環を扱う。

注意

文献によっては、乗法単位元 $1_R$ の存在を環の定義に含めない場合もある。その場合、単位元を持つ環を特に単位的環と呼ぶ。

可換環

定義：可換環

環 $R$ がさらに任意の $a,b\in R$ に対して、

$$\boxed{ab=ba}$$

を満たすとき、$R$ を 可換環 と呼ぶ。

乗法が可換でない環を非可換環という。

環の例

整数環

整数全体

$$\mathbb Z$$

は通常の加法と乗法について可換環をなす。

有理数体・実数体・複素数体

$$\mathbb Q,\qquad \mathbb R,\qquad \mathbb C$$

はいずれも可換環であり、さらに体である。

包含関係として、

$$\boxed{ \mathbb Z \subsetneq \mathbb Q \subsetneq \mathbb R \subsetneq \mathbb C }$$

が成り立つ。

多項式環

$R$ を可換環とすると、

$$R[x]$$

は多項式の通常の加法と乗法について可換環をなす。

これを $R$ 上の多項式環 という。

より一般に、$R$ が非可換環の場合には $R[x]$ の定義には変数 $x$ と係数の可換性について追加の取り決めが必要になる。

行列環

$R$ を環とすると、$R$ の元を成分とする $n$ 次正方行列全体

$$M_n(R)$$

は行列の加法と乗法について環をなす。

$n\geq2$ の場合、$R$ が可換環であっても一般に

$$AB\neq BA$$

なので、

$$M_n(R)$$

は代表的な非可換環である。

零環

ただ1つの元からなる集合

$$\{0\}$$

に

$$0+0=0, \qquad 0\cdot0=0$$

と定めると環をなす。

この環では

$$0_R=1_R$$

であり、零環と呼ばれる。

$n\mathbb Z$ について

整数 $n$ に対して、

$$n\mathbb Z = \{nk\mid k\in\mathbb Z\}$$

は通常の加法と乗法について閉じている。

ただし $|n|>1$ の場合、

$$1\notin n\mathbb Z$$

なので、この記事のように「環は乗法単位元を持つ」と定義する場合、$n\mathbb Z$ は $\mathbb Z$ と同じ単位元を持つ環ではない。

一方、乗法単位元を環の定義に要求しない流儀では、$n\mathbb Z$ を環とみなすことができる。

また、

$$n\mathbb Z$$

は $\mathbb Z$ のイデアルの代表例である。

環・整域・体

可換環の中でも、零因子を持たない非零環を整域という。

さらに、$0$ でないすべての元が乗法逆元を持つ可換環を体という。

したがって、

$$\boxed{ \text{体} \Longrightarrow \text{整域} \Longrightarrow \text{可換環} \Longrightarrow \text{環} }$$

という関係がある。

たとえば、

$$\mathbb Z$$

は整域だが体ではなく、

$$\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$$

は体である。

イデアル

整数環 $\mathbb Z$ において、$n$ の倍数全体

$$n\mathbb Z$$

を考える。

$n\mathbb Z$ の元に任意の整数を掛けても、再び $n$ の倍数になる。

イデアルは、この「環の任意の元を掛けてもその集合から出ない」という性質を一般の環に抽象化した概念である。

定義：左イデアル・右イデアル・両側イデアル

$R$ を環、$I\subseteq R$ とする。

まず、

$$(I,+)$$

が $(R,+)$ の部分群、すなわち

$$I\leq(R,+)$$

であるとする。

左イデアル

さらに、

$$(\forall a\in R)(\forall x\in I) \qquad ax\in I$$

を満たすとき、$I$ を 左イデアル という。

右イデアル

$$(\forall a\in R)(\forall x\in I) \qquad xa\in I$$

を満たすとき、$I$ を 右イデアル という。

両側イデアル

左イデアルかつ右イデアルであるとき、すなわち

$$ax\in I, \qquad xa\in I$$

が任意の $a\in R,x\in I$ に対して成り立つとき、$I$ を 両側イデアル という。

通常、単に「イデアル」という場合は両側イデアルを指す。

可換環の場合

$R$ が可換環ならば、

$$ax=xa$$

なので、左イデアル・右イデアル・両側イデアルの区別はなくなる。

したがって、可換環 $R$ の部分集合 $I$ がイデアルであるとは、

1. $I$ が $(R,+)$ の部分群である。
2. 任意の $a\in R,x\in I$ に対して $$ax\in I$$ である。

ことをいう。

記号では、

$$I\ideal R$$

などと表す。

イデアルの例

零イデアル

任意の環 $R$ に対して、

$$(0)=\{0_R\}$$

はイデアルである。

これを零イデアルという。

単位イデアル

環 $R$ 自身も $R$ のイデアルである。

$$R\ideal R.$$

これを単位イデアルという。

$n\mathbb Z$

任意の $n\in\mathbb Z$ に対して、

$$n\mathbb Z$$

は $\mathbb Z$ のイデアルである。

実際、

$$na,nb\in n\mathbb Z$$

ならば、

$$na-nb=n(a-b)\in n\mathbb Z,$$

また任意の $r\in\mathbb Z$ に対して、

$$r(na)=n(ra)\in n\mathbb Z.$$

したがって、

$$n\mathbb Z\ideal\mathbb Z.$$

多項式環のイデアル

$K$ を体とすると、

$$(x) = \{xf(x)\mid f(x)\in K[x]\}$$

は $K[x]$ のイデアルである。

これは定数項が $0$ である多項式全体に一致する。

イデアルと「倍数」

整数環では、

$$n\mathbb Z = \{na\mid a\in\mathbb Z\}$$

は $n$ の倍数全体である。

一般の可換環 $R$ でも、$a\in R$ に対して

$$(a) = \{ra\mid r\in R\}$$

を考えることができる。

これを $a$ によって生成される主イデアルという。

したがって、主イデアルは整数における「ある元の倍数全体」という考え方を一般化したものとみなせる。

イデアルを導入する理由

イデアルを用いることで、次の概念を定義できる。

• 主イデアル
• 素イデアル
• 極大イデアル
• 商環
• イデアルの和・積・共通部分
• 環準同型の核

特に環準同型

$$f\colon R\to S$$

の核

$$\ker f$$

は $R$ のイデアルになる。

このため、群論における正規部分群と同様に、イデアルは商構造を作るための基本的な部分構造となる。

例と反例

例：$2\mathbb Z$

$$2\mathbb Z = \{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$$

は $\mathbb Z$ のイデアルである。

反例：奇数全体

奇数全体の集合

$$2\mathbb Z+1$$

はイデアルではない。

たとえば $1,3$ は奇数だが、

$$1+3=4$$

は奇数ではないので、加法について閉じていない。

反例：自然数全体

通常の

$$\mathbb N=\{0,1,2,\dots\}$$

は $\mathbb Z$ の部分集合だが、加法逆元を含まない。

たとえば、

$$1\in\mathbb N$$

に対して

$$-1\notin\mathbb N.$$

したがって $\mathbb N$ は環ではない。

なお、$\mathbb N$ が「乗法を持たない」ため環でないわけではない。通常の自然数には乗法も定義されており、環でない主な理由は加法逆元を持たないことである。

応用例

環とイデアルは、次のような分野の基礎となる。

• 可換環論
• 代数的整数論
• 代数幾何学
• ホモロジー代数
• 表現論

特に代数幾何学では、可換環 $R$ の素イデアル全体

$$\Spec R$$

を幾何学的な空間として扱う。

また、イデアル $I$ による商環

$$R/I$$

を考えることで、合同式や剰余類の概念を一般の環へ拡張できる。

例題

例題1

$\mathbb Z$ が可換環であることを確認せよ。

解答

整数の通常の加法について、

$$(\mathbb Z,+)$$

はアーベル群である。

また整数の乗法は結合的で、

$$1\in\mathbb Z$$

が乗法単位元である。

さらに分配律

$$a(b+c)=ab+ac,$$ $$(a+b)c=ac+bc$$

が成り立ち、乗法も

$$ab=ba$$

と可換である。

したがって、

$$\boxed{\mathbb Z\text{ は可換環である}}.$$

例題2

$$3\mathbb Z$$

が $\mathbb Z$ のイデアルであることを示せ。

解答

まず、

$$0\in3\mathbb Z.$$

また、

$$3a,3b\in3\mathbb Z$$

に対して、

$$3a-3b=3(a-b)\in3\mathbb Z.$$

したがって $3\mathbb Z$ は $(\mathbb Z,+)$ の部分群である。

さらに任意の $r\in\mathbb Z$ と $3a\in3\mathbb Z$ に対して、

$$r(3a)=3(ra)\in3\mathbb Z.$$

よって、

$$\boxed{3\mathbb Z\ideal\mathbb Z}.$$

例題3

$R$ を単位的環、$I\ideal R$ とする。

$$1_R\in I$$

ならば $I=R$ であることを示せ。

解答

任意の $a\in R$ に対して、

$$a=a1_R.$$

$I$ はイデアルで $1_R\in I$ なので、

$$a1_R\in I.$$

したがって任意の $a\in R$ が $I$ に属する。

よって、

$$\boxed{I=R}.$$