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定義：射影空間

$\R^{n+1} \setminus \{0\}$ に次のように同値関係 $\sim$ を定める。

$x=(x_0,\cdots,x_n),\,y=(y_0,\cdots,y_n)$ に対して、すべての $i$ に対して

x_i=cy_i \quad (c\neq0) \iff x\sim y

この同値関係による商

(\R^{n+1}\setminus\{0\})/\sim

を射影空間 $\mathbb{P}^n(\R)$ と呼ぶ。

同値関係

\qquad [x_0:x_1:\cdots:x_n] \sim [\lambda x_0:\lambda x_1:\cdots:\lambda x_n]

\qquad \overset{\text{定義}}{\Longleftrightarrow} (x_0,x_1,\ldots,x_n) = (\lambda x_0,\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)

をとるとき、 $K^{n+1}\setminus\{0\}$ の $\sim$ による商

\qquad \mathbb{P}^n(K) := (K^{n+1}\setminus\{0\})/\sim

を射影空間と呼ぶ。

すべての $i$ に対して

x_i=cy_i \quad (c\neq0) \iff x\sim y

証明

自然な写像を

\pi' \colon S^n \to S^n/{\sim}

とおく。

1, 2で得られた写像は互いに逆写像であるため、同相が得られた。

S^n/{\sim}\cong\mathbb{P}^n(\R)

$S^n$ に対して、同値関係

x\sim y \defiff x=-y

を定義し、商空間 $S^n/{\sim}$ を考える。

\qquad \mathbb{P}^n(\R) = \dbigcup_{\lambda\in\Lambda} U_\lambda

と被覆をとる。ここで

\qquad V_\lambda = \pi^{-1}(U_\lambda)

とおく。これは被覆

\qquad S^n = \dbigcup_{\lambda\in\Lambda}V_\lambda

を与える。

ここで $S^n$ はコンパクトであったため、有限個の $\lambda_i$ が得られて

\qquad S^n = \dbigcup_{i=1}^n V_{\lambda_i} = \dbigcup_{i=1}^n\pi^{-1}(U_{\lambda_i})

となる。こうして

\qquad \mathbb{P}^n(\R) = \dbigcup_{i=1}^n U_{\lambda_i}

を得る。 $\Box$

射影平面上の座標 $(x:y:z)$ は、 $\R^2$ 上の直線として

Ax+By+Cz=0 \quad (z\neq0)

と表せる。

変形すると、

\qty(\dfrac{A}{z})x + \qty(\dfrac{B}{z})y + C = 0

となる。

$z=0$ となれば、 $x,y$ 成分の値が無限大に発散してしまう。

同じことだが、 $z\neq0$ では

(x:y:z) = \qty( \dfrac{x}{z}: \dfrac{y}{z}: 1 )

と $z$ を $1$ にした形に変形できるが、 $z=0$ では $(x:y:0)$ を変形しようとするとゼロ除算になってしまうため、 $z$ を $1$ にできない。