核と余核の普遍性

前提知識

この記事を読むためには、次の概念を理解していることが望ましい。

• $R$-加群
• $R$-線形写像
• 線形写像の核 $\ker f$ と像 $\im f$
• 商加群
• 包含写像と商写像
• 写像の合成
• 可換図式

概要

核と余核は、単に

$$\ker f=\{x\in M_1\mid f(x)=0\}, \qquad \coker f=M_2/\im f$$

と定義されるだけでなく、それぞれ特徴的な普遍性を持つ。

核の普遍性は、$f$ と合成して零写像になる写像が必ず $\ker f$ を一意的に経由することを表す。

一方、余核の普遍性は、$f$ との合成が零写像になる写像が必ず $\coker f$ を一意的に経由することを表す。

この性質によって、核と余核は具体的な集合としての構成に依存せず、写像との関係だけから特徴づけることができる。

歴史的経緯

核や商加群は線形代数学・加群論における基本的な構成であるが、20世紀に圏論が発展すると、これらを普遍性によって特徴づける考え方が体系化された。

普遍性を用いると、加群だけでなく、群やアーベル圏などのより一般的な圏においても核・余核を統一的に定義できる。

核の普遍性

定理：核の普遍性

$M_1,M_2,N$ を $R$-加群とし、

$$f\colon M_1\to M_2, \qquad g\colon N\to M_1$$

を $R$-線形写像とする。

また、

$$\iota\colon\ker f\hookrightarrow M_1$$

を包含写像とする。

このとき、

$$f\circ g=0$$

が成り立つならば、

$$\boxed{\iota\circ h=g}$$

を満たす $R$-線形写像

$$h\colon N\to\ker f$$

がただ一つ存在する。

すなわち、$g$ は $\ker f$ を一意的に経由して因子化される。

図式で表すと、

$$\begin{CD} \ker f @>{\iota}>> M_1 @>{f}>> M_2\\ @A{h}AA @A{g}AA @AA{0}A\\ N @= N @= N \end{CD}$$

という関係に対応する。

証明

まず $h$ の存在を示す。

仮定より、

$$f\circ g=0$$

であるから、任意の $x\in N$ に対して

f\qty\big(g(x))=0.

したがって、

$$g(x)\in\ker f.$$

よって、

$$h(x):=g(x)$$

と定めることで、

$$h\colon N\to\ker f$$

を定義できる。

$g$ は $R$-線形写像であり、$h$ は $g$ の値域を $\ker f$ に制限した写像であるから、$h$ も $R$-線形写像である。

次に、

$$\iota\circ h=g$$

を示す。

任意の $x\in N$ に対して、

\begin{aligned} (\iota\circ h)(x) &=\iota\qty\big(h(x))\\ &=h(x)\\ &=g(x). \end{aligned}

したがって、

$$\iota\circ h=g.$$

最後に $h$ の一意性を示す。

別の $R$-線形写像

$$h'\colon N\to\ker f$$

が

$$\iota\circ h'=g$$

を満たすとする。

このとき、

$$\iota\circ h = g = \iota\circ h'.$$

したがって、任意の $x\in N$ に対して

\iota\qty\big(h(x)) = \iota\qty\big(h'(x)).

$\iota$ は包含写像であり単射なので、

$$h(x)=h'(x).$$

よって、

$$h=h'.$$

以上より、条件を満たす $h$ はただ一つ存在する。$\Box$

核の普遍性の意味

条件

$$f\circ g=0$$

は、$g$ の像がすべて $f$ によって $0$ に送られることを意味する。

すなわち、

$$\im g\subseteq\ker f.$$

したがって、$g$ は実質的には最初から $\ker f$ に値を取る写像とみなすことができる。

核の普遍性は、この事実を

$$g=\iota\circ h$$

という因子化によって表している。

余核の普遍性

定理：余核の普遍性

$M_1,M_2,N$ を $R$-加群とし、

$$f\colon M_1\to M_2, \qquad g\colon M_2\to N$$

を $R$-線形写像とする。

また、

$$\pi\colon M_2\to\coker f = M_2/\im f$$

を標準的な商写像とする。

このとき、

$$g\circ f=0$$

が成り立つならば、

$$\boxed{h\circ\pi=g}$$

を満たす $R$-線形写像

$$h\colon\coker f\to N$$

がただ一つ存在する。

すなわち、$g$ は $\coker f$ を一意的に経由して因子化される。

証明

まず $h$ の存在を示す。

$\coker f=M_2/\im f$ であるから、その元は

$$x+\im f \qquad(x\in M_2)$$

と表される。

そこで、

$$h(x+\im f):=g(x)$$

と定める。

この定義が代表元の取り方によらないことを示す。

$$x+\im f=x'+\im f$$

とすると、

$$x-x'\in\im f.$$

したがって、ある $y\in M_1$ が存在して

$$x-x'=f(y)$$

となる。

すなわち、

$$x=x'+f(y).$$

よって、

\begin{aligned} g(x) &=g\qty\big(x'+f(y)\big)\\ &=g(x')+g\qty\big(f(y)\big)\\ &=g(x')+(g\circ f)(y). \end{aligned}

仮定より

$$g\circ f=0$$

であるから、

$$g(x)=g(x').$$

したがって $h(x+\im f)=g(x)$ は代表元の取り方によらず、$h$ はwell-definedである。

また、$g$ の線形性から $h$ も $R$-線形写像である。

次に、

$$h\circ\pi=g$$

を示す。

任意の $x\in M_2$ に対して、

\begin{aligned} (h\circ\pi)(x) &=h\qty\big(\pi(x)\big)\\ &=h(x+\im f)\\ &=g(x). \end{aligned}

したがって、

$$h\circ\pi=g.$$

最後に $h$ の一意性を示す。

別の $R$-線形写像

$$h'\colon\coker f\to N$$

が

$$h'\circ\pi=g$$

を満たすとする。

任意の $x+\im f\in\coker f$ に対して、

\begin{aligned} h(x+\im f) &=h\qty\big(\pi(x)\big)\\ &=g(x)\\ &=h'\qty\big(\pi(x)\big)\\ &=h'(x+\im f). \end{aligned}

したがって、

$$h=h'.$$

以上より、条件を満たす $h$ はただ一つ存在する。$\Box$

余核の普遍性の意味

条件

$$g\circ f=0$$

は、

$$\im f\subseteq\ker g$$

を意味する。

したがって、$g$ は $\im f$ に属する元をすべて $0$ に送る。

そのため、$\im f$ の違いを無視して得られる商加群

$$M_2/\im f$$

上に $g$ を移すことができる。

これが

$$g=h\circ\pi$$

という因子化である。

核と余核の双対性

核と余核の普遍性は互いに双対的な形をしている。

	核	余核
標準写像	$\iota\colon\ker f\to M_1$	$\pi\colon M_2\to\coker f$
条件	$f\circ g=0$	$g\circ f=0$
因子化	$g=\iota\circ h$	$g=h\circ\pi$
$h$ の向き	$N\to\ker f$	$\coker f\to N$
基本的な包含関係	$\im g\subseteq\ker f$	$\im f\subseteq\ker g$

核では「$\ker f$ へ因子化」し、余核では「$\coker f$ から因子化」するという向きの違いがある。

例と反例

例：核を経由する写像

$R=\R$ とし、

$$f\colon\R^2\to\R, \qquad f(x,y)=x$$

とする。

このとき、

$$\ker f = \{(0,y)\mid y\in\R\}.$$

さらに、

$$g\colon\R\to\R^2, \qquad g(t)=(0,t)$$

とすると、

$$(f\circ g)(t)=0.$$

したがって $g$ は $\ker f$ を経由する。

例：余核を経由する写像

$f\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$ を

$$f(n)=2n$$

とすると、

$$\coker f = \mathbb Z/2\mathbb Z.$$

$f(\mathbb Z)=2\mathbb Z$ を $0$ に送る準同型は、$\mathbb Z/2\mathbb Z$ 上の写像として一意的に因子化される。

反例：核を経由できない場合

$f\circ g\neq0$ ならば、一般には

$$\im g\not\subseteq\ker f$$

なので、$g$ を

$$N\to\ker f$$

という写像として定義することはできない。

応用例

核と余核の普遍性は、次のような分野で基本的な役割を果たす。

• 加群論
• ホモロジー代数
• 完全列
• アーベル圏
• 圏論
• 商対象の構成

特に完全列

$$M_1\xrightarrow{f}M_2\xrightarrow{g}M_3$$

における条件

$$\im f=\ker g$$

は、核と余核の考え方と密接に関係している。

例題

例題1

$R$-線形写像

$$f\colon M_1\to M_2, \qquad g\colon N\to M_1$$

が

$$f\circ g=0$$

を満たすとする。

$\im g$ と $\ker f$ の包含関係を求めよ。

解答

任意の $x\in N$ に対して、

f\qty\big(g(x)\big)=0

なので、

$$g(x)\in\ker f.$$

したがって、

$$\boxed{\im g\subseteq\ker f}.$$

例題2

$R$-線形写像

$$f\colon M_1\to M_2, \qquad g\colon M_2\to N$$

が

$$g\circ f=0$$

を満たすとする。

$\im f$ と $\ker g$ の包含関係を求めよ。

解答

任意の $x\in M_1$ に対して、

g\qty\big(f(x)\big)=0.

したがって、

$$f(x)\in\ker g$$

なので、

$$\boxed{\im f\subseteq\ker g}.$$