加群のテンソル積【普遍性と一意性】

前提知識

可換環、加群、線形写像、双線形写像、商加群、自由加群

概要

$R$-加群のテンソル積は、双線形写像を線形写像として扱うための普遍的な加群である。

歴史的経緯

テンソル積は多重線形代数を線形化する構成として発展し、加群論・ホモロジー代数学・代数幾何学で基本的な道具となった。

本文

定義：$R$-双線形写像

$R$ を可換環、$M_1,M_2,N$ を $R$-加群とする。写像 $f:M_1\times M_2\to N$ が

$f(x_1+x_2,y)=f(x_1,y)+f(x_2,y),$ $f(x,y_1+y_2)=f(x,y_1)+f(x,y_2),$ $f(ax,y)=f(x,ay)=af(x,y)$

を満たすとき、$R$-双線形写像と呼ぶ。

定義：$R$-加群のテンソル積

$R$-双線形写像 $\phi:M_1\times M_2\to M_1\otimes_RM_2$ が、任意の $R$-双線形写像 $g:M_1\times M_2\to M'$ に対して、

$g=\psi\circ\phi$

となるただ一つの $R$-線形写像 $\psi:M_1\otimes_RM_2\to M'$ を持つとき、$M_1\otimes_RM_2$ をテンソル積と呼ぶ。

定理：テンソル積の一意性

同じ $M_1,M_2$ に対する二つのテンソル積 $T_1,T_2$ は、一意な普遍性から互いに $R$-同型になる。

例と反例

$\mathbb Z\otimes_\mathbb Z M\cong M$。一方、テンソル積は単なる直積 $M_1\times M_2$ ではない。

応用例

基底変換、Tor関手、微分形式、代数幾何学。

例題

$\mathbb Z\otimes_\mathbb Z\mathbb Z/n\mathbb Z$ を求めよ。