体上のベクトル空間

前提知識

体、加法群、スカラー倍

概要

ベクトル空間は、体の元をスカラーとしてベクトルの加法とスカラー倍を行う代数構造である。

歴史的経緯

幾何学的ベクトルの計算を一般化し、関数・多項式・行列などを同じ枠組みで扱うために抽象的ベクトル空間が発展した。

本文

定義：体上のベクトル空間

$K$ を体とする。集合 $V$ にベクトルの加法と $K$ の元によるスカラー倍が定義され、ベクトル空間の公理を満たすとき、$V$ を $K$ 上のベクトル空間と呼ぶ。

例と反例

$\mathbb R^n$ は $\mathbb R$ 上のベクトル空間である。$\mathbb C$ は $\mathbb R$ 上でも $\mathbb C$ 上でもベクトル空間だが、その次元は異なる。

応用例

線形写像、基底、次元、固有値、関数空間。

例題

$\mathbb C$ の $\mathbb R$ 上の次元と $\mathbb C$ 上の次元を求めよ。