Skip to content
Mathetic Labฅ

体上のベクトル空間

体上のベクトル空間

Section titled “体上のベクトル空間”

定義：体上のベクトル空間

Section titled “定義：体上のベクトル空間”

KK を体とする。

集合 VV に加法

+ ⁣:V×V→V+\colon V\times V\to V

とスカラー倍

K×V→VK\times V\to V

が定められているとする。

任意の a,b∈Ka,b\in K と任意の x,y,z∈Vx,y,z\in V に対して、次の性質が成り立つとき、VV を KK 上のベクトル空間という。

  1. (x+y)+z=x+(y+z)(x+y)+z=x+(y+z)
  2. x+y=y+xx+y=y+x
  3. ある 0∈V0\in V が存在して、任意の x∈Vx\in V に対して x+0=0+x=xx+0=0+x=x が成り立つ。
  4. 任意の x∈Vx\in V に対して、ある −x∈V-x\in V が存在して x+(−x)=(−x)+x=0x+(-x)=(-x)+x=0 が成り立つ。
  5. (a+b)x=ax+bx(a+b)x=ax+bx
  6. a(x+y)=ax+aya(x+y)=ax+ay
  7. (ab)x=a(bx)(ab)x=a(bx)
  8. 1x=x1x=x

このとき、KK の元をスカラー、VV の元をベクトルという。

体上のベクトル空間の例

Section titled “体上のベクトル空間の例”

例

Section titled “例”
  1. Qn\Q^n は Q\Q 上の nn 次元ベクトル空間である。
  2. Rn\R^n は R\R 上の nn 次元ベクトル空間である。
  3. R\R は Q\Q 上の無限次元ベクトル空間である。
  4. C\C は R\R 上の 22 次元ベクトル空間である。
  5. Mm,n(R)M_{m,n}(\R) は R\R 上の mnmn 次元ベクトル空間である。
  6. R[x]\R[x] は R\R 上の可算無限次元ベクトル空間である。
  7. C(R)C(\R) は R\R 上の無限次元ベクトル空間である。
  8. {0}\{0\} は任意の体 KK 上の 00 次元ベクトル空間である。
  9. C([0,1])C([0,1]) は R\R 上の無限次元ベクトル空間である。
  10. Q(2)\Q(\sqrt2) は Q\Q 上の 22 次元ベクトル空間であり、 Q(2)=span⁡Q{1,2}\Q(\sqrt2)=\span_\Q\{1,\sqrt2\} が成り立つ。
  11. Q(π)\Q(\pi) は Q\Q 上の無限次元ベクトル空間である。

π\pi は超越数であるため、

1,π,π2,π3,…1,\pi,\pi^2,\pi^3,\ldots

は Q\Q 上線形独立である。

したがって、

dim⁡QQ(π)=∞.\dim_\Q\Q(\pi)=\infty.

部分ベクトル空間

Section titled “部分ベクトル空間”

定義：部分ベクトル空間

Section titled “定義：部分ベクトル空間”

VV を体 KK 上のベクトル空間とし、

V′⊆VV'\subseteq V

とする。

V′≠∅V'\ne\varnothing であり、任意の x,y∈V′x,y\in V' と任意の a∈Ka\in K に対して、

  1. x+y∈V′x+y\in V'
  2. ax∈V′ax\in V'

が成り立つとき、V′V' を VV の KK 上の部分ベクトル空間という。

これは、

0∈V′0\in V'

かつ任意の x,y∈V′x,y\in V'、a,b∈Ka,b\in K に対して、

ax+by∈V′ax+by\in V'

が成り立つことと同値である。

線形独立・線形従属

Section titled “線形独立・線形従属”

定義：線形独立・線形従属

Section titled “定義：線形独立・線形従属”

VV を KK 上のベクトル空間とし、

x1,x2,…,xn∈Vx_1,x_2,\ldots,x_n\in V

とする。

任意の

a1,a2,…,an∈Ka_1,a_2,\ldots,a_n\in K

に対して、

a1x1+a2x2+⋯+anxn=0a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=0

ならば、

a1=a2=⋯=an=0a_1=a_2=\cdots=a_n=0

が成り立つとき、

x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n

は線形独立であるという。

線形独立でないとき、線形従属であるという。

線形包

Section titled “線形包”

VV の部分集合 SS について、

  • SS の元の線形結合全体の集合
  • SS を含む最小の部分ベクトル空間
  • SS を含むすべての部分ベクトル空間の共通部分

は一致する。

この部分ベクトル空間を SS の線形包という。

定義：線形包

Section titled “定義：線形包”

VV を KK 上のベクトル空間とし、

S={x1,x2,…,xn}⊆VS=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\subseteq V

とする。

SS の元の線形結合全体の集合

span⁡KS:={∑i=1naixi  |  a1,a2,…,an∈K}\span_K S := \left\{ \sum_{i=1}^n a_ix_i \;\middle|\; a_1,a_2,\ldots,a_n\in K \right\}

を SS の線形包という。

命題：線形包は部分ベクトル空間

Section titled “命題：線形包は部分ベクトル空間”

VV を KK 上のベクトル空間、

S⊆VS\subseteq V

とする。

このとき、span⁡KS\span_K S は SS を含む最小の KK 上の部分ベクトル空間である。

証明

span⁡KS\span_K S が SS を含むことと、SS を含む任意の部分ベクトル空間 WW に対して

span⁡KS⊆W\span_K S\subseteq W

となることを示す。

S⊆span⁡KSS\subseteq\span_K S の証明

Section titled “S⊆span⁡KSS\subseteq\span_K SS⊆spanK​S の証明”

任意の xj∈Sx_j\in S に対して、

xj=0x1+⋯+0xj−1+1xj+0xj+1+⋯+0xnx_j = 0x_1+\cdots+0x_{j-1} +1x_j +0x_{j+1}+\cdots+0x_n

と表せる。

これは SS の元の線形結合であるから、

xj∈span⁡KS.x_j\in\span_K S.

したがって、

S⊆span⁡KS.S\subseteq\span_K S.

span⁡KS⊆W\span_K S\subseteq W の証明

Section titled “span⁡KS⊆W\span_K S\subseteq WspanK​S⊆W の証明”

WW を SS を含む任意の KK 上の部分ベクトル空間とする。

任意の

v∈span⁡KSv\in\span_K S

を取る。

線形包の定義より、ある

a1,a2,…,an∈Ka_1,a_2,\ldots,a_n\in K

が存在して、

v=a1x1+a2x2+⋯+anxnv = a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n

と表せる。

S⊆WS\subseteq W だから、

x1,x2,…,xn∈W.x_1,x_2,\ldots,x_n\in W.

WW は部分ベクトル空間なので、スカラー倍と加法について閉じている。

したがって、

a1x1+a2x2+⋯+anxn∈W.a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n\in W.

よって、

v∈W.v\in W.

v∈span⁡KSv\in\span_K S は任意だったから、

span⁡KS⊆W.\span_K S\subseteq W.

以上より、

S⊆span⁡KS⊆WS\subseteq\span_K S\subseteq W

が、SS を含む任意の部分ベクトル空間 WW に対して成り立つ。

したがって、span⁡KS\span_K S は SS を含む最小の KK 上の部分ベクトル空間である。□\Box

このことから、span⁡KS\span_K S を SS が生成する部分ベクトル空間ともいう。

この「生成」という考え方は、群論における生成部分群や、環論・加群論における生成イデアル・生成部分加群などに対応する。

線形包の例

Section titled “線形包の例”

例

Section titled “例”
Q(2)=span⁡Q{1,2}\Q(\sqrt2) = \span_\Q\{1,\sqrt2\}

である。

したがって、

dim⁡QQ(2)=2.\dim_\Q\Q(\sqrt2)=2.

一方、

Q(π)\Q(\pi)

は Q\Q 上の無限次元ベクトル空間である。

例えば、

span⁡Q{1,π}\span_\Q\{1,\pi\}

は Q(π)\Q(\pi) の一部分であり、

dim⁡Qspan⁡Q{1,π}=2\dim_\Q\span_\Q\{1,\pi\}=2

であるが、

span⁡Q{1,π}≠Q(π).\span_\Q\{1,\pi\}\ne\Q(\pi).