射影

前提知識

• 集合
• 部分集合
• 添字集合
• 集合族
• 直積
• 写像
• 全射・単射
• 写像の合成

概要

射影（projection）とは、直積の元から指定した成分だけを取り出す写像である。

任意の添字集合 $I$ を持つ集合族 $(X_i)_{i\in I}$ に対して、$J\subseteq I$ を選ぶと、

$$\prod_{i\in I}X_i$$

の元 $(x_i)_{i\in I}$ から、$J$ に属する添字の成分だけを取り出して

$$(x_j)_{j\in J}$$

を得ることができる。

射影は直積の構造を扱うための基本的な写像であり、集合論だけでなく、線形代数学、位相空間論、微分幾何学、確率論、圏論などでも用いられる。

歴史的経緯

「射影」という考え方は、幾何学において図形を直線や平面などへ写す操作として古くから現れる。

集合の直積における射影は、この考え方を「複数の成分を持つ対象から一部の成分を取り出す写像」として抽象化したものとみなせる。

現代数学では、特に圏論において、直積そのものを射影写像が満たす普遍性によって特徴づける。そのため、射影は単に成分を取り出すための記号ではなく、積という構造を記述する基本的な写像である。

定義

定義：射影（projection）

任意の添字集合 $I$ を持つ集合族 $(X_i)_{i \in I}$ に対し、$J \subseteq I$ を $I$ の部分集合とすれば、写像

$$\pi_J \colon \prod_{i \in I} X_i \to \prod_{j \in J} X_j; \qquad (x_i)_{i \in I} \mapsto (x_j)_{j \in J}$$

を $J$ 上の射影と呼ぶ。

定義：座標射影

特に $j\in I$ に対して、

$$J=\{j\}$$

とすると、

$$\prod_{k\in\{j\}}X_k$$

は自然に $X_j$ と同一視できる。

したがって、

$$\pi_j \colon \prod_{i\in I}X_i \to X_j; \qquad (x_i)_{i\in I} \mapsto x_j$$

を定めることができる。

これを第 $j$ 成分への座標射影と呼ぶ。

例えば、

$$X\times Y$$

に対して、

$$\pi_1 \colon X\times Y \to X; \qquad (x,y)\mapsto x$$

および

$$\pi_2 \colon X\times Y \to Y; \qquad (x,y)\mapsto y$$

は、それぞれ第1成分、第2成分への射影である。

射影の基本的性質

命題：射影の合成

$$K\subseteq J\subseteq I$$

とする。

$I$ 上の直積から $J$ 上の直積への射影を $\pi_J^I$、$J$ 上の直積から $K$ 上の直積への射影を $\pi_K^J$ と書けば、

$$\pi_K^I = \pi_K^J\circ\pi_J^I$$

が成り立つ。

証明

任意の

$$(x_i)_{i\in I} \in \prod_{i\in I}X_i$$

に対して、

$$(\pi_K^J\circ\pi_J^I)((x_i)_{i\in I}) = \pi_K^J((x_j)_{j\in J}) = (x_k)_{k\in K}.$$

一方、

$$\pi_K^I((x_i)_{i\in I}) = (x_k)_{k\in K}.$$

したがって、

$$\pi_K^I = \pi_K^J\circ\pi_J^I. \qquad\Box$$

命題：有限直積における射影の全射性

$I$ が有限集合であり、

$$X_i\neq\emptyset \qquad (i\in I)$$

とする。

このとき、

$$\pi_J \colon \prod_{i\in I}X_i \to \prod_{j\in J}X_j$$

は全射である。

証明

任意の

$$(x_j)_{j\in J} \in \prod_{j\in J}X_j$$

を取る。

各 $i\in I\setminus J$ に対して $X_i\neq\emptyset$ であるから、

$$x_i\in X_i$$

を選ぶことができる。

これらを合わせれば、

$$(x_i)_{i\in I} \in \prod_{i\in I}X_i$$

であって、

$$\pi_J((x_i)_{i\in I}) = (x_j)_{j\in J}$$

となる元が得られる。

したがって、$\pi_J$ は全射である。

$$\Box$$

無限個の集合族に対して同様の主張を一般に行う場合、$I\setminus J$ に属する各集合から元を同時に選ぶ必要があるため、選択公理との関係に注意が必要である。

命題：射影は一般には単射ではない

$J\subsetneq I$ とし、ある

$$k\in I\setminus J$$

について $X_k$ が異なる2元を持つとする。

さらに、直積の他の成分を選ぶことができるとする。

このとき、$\pi_J$ は単射ではない。

証明

$X_k$ の異なる2元を

$$a,b\in X_k, \qquad a\neq b$$

とする。

$k$ 成分以外を等しくし、$k$ 成分だけをそれぞれ $a,b$ とした2つの直積の元を $x,y$ とする。

すると、

$$x\neq y$$

である。

しかし $k\notin J$ であるから、射影によって $k$ 成分は取り除かれ、

$$\pi_J(x) = \pi_J(y)$$

となる。

したがって、$\pi_J$ は単射ではない。

$$\Box$$

積と射影

定理：集合の直積の普遍性

集合 $X,Y$ に対して、射影

$$\pi_1 \colon X\times Y \to X$$ $$\pi_2 \colon X\times Y \to Y$$

を考える。

任意の集合 $Z$ と写像

$$f\colon Z\to X, \qquad g\colon Z\to Y$$

に対して、

$$\pi_1\circ h=f, \qquad \pi_2\circ h=g$$

を満たす写像

$$h\colon Z\to X\times Y$$

がただ一つ存在する。

その写像は、

$$h(z) = (f(z),g(z))$$

である。

証明

写像

$$h \colon Z\to X\times Y; \qquad z\mapsto(f(z),g(z))$$

を定める。

このとき、

$$(\pi_1\circ h)(z) = \pi_1(f(z),g(z)) = f(z)$$

であり、

$$(\pi_2\circ h)(z) = \pi_2(f(z),g(z)) = g(z)$$

である。

したがって、

$$\pi_1\circ h=f, \qquad \pi_2\circ h=g$$

が成り立つ。

また、これらを満たす写像

$$h'\colon Z\to X\times Y$$

が存在したとすると、

$$h'(z) = \left( \pi_1(h'(z)), \pi_2(h'(z)) \right) = (f(z),g(z)) = h(z).$$

よって、

$$h'=h.$$

したがって、このような $h$ はただ一つ存在する。

$$\Box$$

この性質によって、$X\times Y$ は射影 $\pi_1,\pi_2$ とともに、集合の圏における積として特徴づけられる。

例と反例

例1：2つの集合の直積

$$X=\{a,b\}, \qquad Y=\{1,2\}$$

とする。

このとき、

$$X\times Y = \{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2)\}.$$

第1成分への射影は、

$$\pi_1(a,1)=a, \qquad \pi_1(a,2)=a,$$ $$\pi_1(b,1)=b, \qquad \pi_1(b,2)=b$$

となる。

例2：3成分から2成分を取り出す射影

集合 $X_1,X_2,X_3$ に対して、

$$\pi_{\{1,3\}} \colon X_1\times X_2\times X_3 \to X_1\times X_3$$

を

$$\pi_{\{1,3\}}(x_1,x_2,x_3) = (x_1,x_3)$$

と定める。

これは $\{1,3\}$ 上の射影である。

例3：実数空間の座標射影

$$\mathbb R^3 = \mathbb R\times\mathbb R\times\mathbb R$$

に対して、

$$\pi_2 \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R; \qquad (x,y,z)\mapsto y$$

は第2成分への射影である。

また、

$$\pi_{\{1,3\}} \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R^2; \qquad (x,y,z)\mapsto(x,z)$$

も射影である。

反例1：成分を加える写像

$$f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R; \qquad (x,y)\mapsto x+y$$

は射影ではない。

射影は指定した成分をそのまま取り出す写像であるのに対して、この写像は2つの成分に演算を施している。

反例2：成分を変形する写像

$$f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R; \qquad (x,y)\mapsto x^2$$

も射影ではない。

第1成分 $x$ を利用しているが、その成分をそのまま取り出すのではなく $x^2$ に変形しているためである。

応用例

積位相

位相空間の族 $(X_i)_{i\in I}$ に対して、直積

$$\prod_{i\in I}X_i$$

上の積位相は、すべての座標射影

$$\pi_i \colon \prod_{j\in I}X_j \to X_i$$

が連続になる最弱の位相として特徴づけられる。

線形代数学

ベクトル空間 $V,W$ の直積に対して、

$$\pi_V \colon V\times W \to V; \qquad (v,w)\mapsto v$$

は線形写像である。

同様に、

$$\pi_W \colon V\times W \to W; \qquad (v,w)\mapsto w$$

も線形写像である。

多様体

多様体 $M,N$ の積多様体 $M\times N$ に対する

$$\pi_M \colon M\times N \to M$$

および

$$\pi_N \colon M\times N \to N$$

は、積多様体を扱う際の基本的な写像となる。

確率論

複数の成分からなる標本

$$(\omega_i)_{i\in I}$$

を扱うとき、座標射影によって特定の成分だけを取り出すことができる。

圏論

圏論では、積 $X\times Y$ は単なる直積集合としてではなく、射影

$$\pi_1 \colon X\times Y \to X, \qquad \pi_2 \colon X\times Y \to Y$$

と、それらが満たす普遍性によって特徴づけられる。

したがって、射影は積という概念そのものを抽象化するための基本的な射である。

例題

例題1

写像

$$\pi_1 \colon \mathbb R^3 \to \mathbb R; \qquad (x,y,z)\mapsto x$$

に対して、

$$\pi_1(2,-1,4)$$

を求めよ。

解答

第1成分を取り出せばよいから、

$$\pi_1(2,-1,4) = 2.$$

例題2

写像

$$\pi_{\{1,3\}} \colon \mathbb R^4 \to \mathbb R^2$$

を射影として定義し、

$$\pi_{\{1,3\}}(1,2,3,4)$$

を求めよ。

解答

$\{1,3\}$ に属する成分だけを取り出すから、

$$\pi_{\{1,3\}}(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1,x_3).$$

したがって、

$$\pi_{\{1,3\}}(1,2,3,4) = (1,3).$$

例題3

$$\pi_1 \colon X\times Y \to X$$

が単射になる条件を考えよ。

解答

$X=\emptyset$ の場合、定義域 $X\times Y$ も空集合であるため、$\pi_1$ は単射である。

$X\neq\emptyset$ とする。

$Y$ が高々1元からなる場合、同じ第1成分を持つ2つの元は同一の元になるため、$\pi_1$ は単射である。

一方、$Y$ に異なる2元

$$y_1,y_2$$

が存在すれば、任意の $x\in X$ に対して、

$$(x,y_1)\neq(x,y_2)$$

であるにもかかわらず、

$$\pi_1(x,y_1) = x = \pi_1(x,y_2)$$

となる。

したがって、$X\neq\emptyset$ のもとでは、$\pi_1$ が単射であるための必要十分条件は $Y$ が高々1元からなることである。

例題4

集合 $Z,X,Y$ と写像

$$f\colon Z\to X, \qquad g\colon Z\to Y$$

が与えられている。

$$\pi_1\circ h=f, \qquad \pi_2\circ h=g$$

を満たす

$$h\colon Z\to X\times Y$$

を求めよ。

解答

積の普遍性より、

$$h(z) = (f(z),g(z))$$

である。