線形代数学の応用

主な応用

• 連立方程式
• 行列式
• 幾何学的変換（移動・回転・拡大縮小・せん断・反転）
• 微分方程式

幾何学的変換

回転

$$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$

拡大縮小

$$\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{pmatrix}$$

せん断

$$\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

微分作用素

関数 $f$ に対して、

$$D(f)=f'$$

とする。

微分作用素 $D$ は線形であり、

$$D(af+bg) = aD(f)+bD(g)$$

が成り立つ。

行列指数関数

$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ とする。

行列指数関数 $\mathrm{e}^{At}$ は、

$$\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{At} = A\mathrm{e}^{At}$$

を満たす。

スカラーの指数関数

$$\mathrm{e}^{t} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{t^i}{i!}$$

と同様に、行列指数関数を

$$\mathrm{e}^{At} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{t^iA^i}{i!}$$

と定義する。

すなわち、

$$\mathrm{e}^{At} = I_n +tA +\frac{t^2}{2!}A^2 +\frac{t^3}{3!}A^3 +\cdots$$

である。

線形微分方程式

線形微分方程式

$$\frac{dx}{dt} = Ax$$

に対して、初期値 $x(0)$ を与えると、その解は

$$x(t) = \mathrm{e}^{At}x(0)$$

と表される。