線形写像

前提知識

体、ベクトル空間、写像、線形結合

概要

線形写像はベクトルの加法とスカラー倍を保存する写像である。

歴史的経緯

線形写像は行列による変換を座標に依存しない形で捉える概念として線形代数学の中心をなす。

本文

定義：線形写像

$K$ を体、$V,W$ を $K$ 上のベクトル空間とする。写像 $f:V\to W$ が

• $f(x+y)=f(x)+f(y)$
• $f(ax)=af(x)$

を満たすとき、$f$ を線形写像と呼ぶ。

同じ前提条件のもとで、$f(ax+by)=af(x)+bf(y)$ に置き換えても同値になる。

線形写像の例

• 零写像 $f(x)=0$
• 恒等写像 $f(x)=x$
• リーマン積分
• 導関数
• 期待値

例と反例

$f(x,y)=(2x,2y)$ は線形写像。$f(x)=x+1$ は $f(0)\ne0$ なので線形写像ではない。

応用例

座標変換、行列、微分作用素、積分作用素、確率論。

例題

$f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2, f(x,y)=(x+y,y)$ が線形写像であることを示せ。