空集合は任意のベクトル空間において線形独立

前提知識

ベクトル空間、線形結合、線形独立、空集合

概要

空集合は任意のベクトル空間において線形独立である。

歴史的経緯

空集合を含む定義は、基底の存在証明や帰納的・極大的構成を例外なく扱うために重要である。

本文

以下の定理は、Zornの補題を用いた基底の存在証明などにおいて重要な役割を果たす命題である。

命題：空集合は任意のベクトル空間において線形独立

空集合は任意のベクトル空間において線形独立である。

証明

線形独立の定義に反する非自明な有限線形結合を空集合から作ることはできない。したがって条件は空虚に真であり、$\emptyset$ は線形独立である。$\Box$

例と反例

$\emptyset$ は線形独立である。一方、$\{0\}$ は $1\cdot0=0$ という非自明な関係を持つため線形独立ではない。

応用例

Zornの補題による基底の存在、最大線形独立集合。

例題

零ベクトル空間 $\{0\}$ の基底を求めよ。