空集合は任意のベクトル空間において線形独立

空集合の線形独立性

以下の命題は、Zornの補題を用いてベクトル空間に基底が存在することを証明する際などに用いられる。

命題：空集合は任意のベクトル空間において線形独立

空集合 $\varnothing$ は任意のベクトル空間において線形独立である。

証明

ベクトル空間 $V$ の部分集合 $S$ が線形独立であるとは、$S$ から任意に有限個の相異なるベクトル

$$v_1,\ldots,v_n\in S$$

を取り、

$$a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0$$

が成り立つならば、

$$a_1=\cdots=a_n=0$$

となることをいう。

ここで $S=\varnothing$ とする。

$\varnothing$ には元が存在しないため、$\varnothing$ から有限個のベクトルを選んで非自明な線形関係を構成することはできない。

したがって、線形独立性の条件に反する線形関係は存在しない。

よって、空集合 $\varnothing$ は線形独立である。$\Box$