ベクトル空間の次元

前提知識

体上のベクトル空間、線形独立、線形結合、基底

ベクトル空間の次元は、その基底の濃度によって定義される。

基底と次元は線形代数学を座標に依存しない形で扱うための中心概念として整備された。

ベクトル空間 $V$ のベクトル $e_1,e_2,\ldots,e_n$ が線形独立であり、 $V$ の任意のベクトルがこれらの線形結合で表せるとき、その集合を $V$ の基底と呼ぶ。

零ベクトル空間 $\{0\}$ は $\emptyset$ をただ一つの基底に持つ。

$V$ の基底の濃度を $V$ の次元と呼ぶ。すなわち、有限次元の場合、ベクトル空間の次元とは基底ベクトルの数である。

有限次元ベクトル空間 $V,W$ と線形写像 $f:V\to W$ に対して、

$\dim V=\dim\im f+\dim\ker f$

が成り立つ。

$\mathbb C$ を $\mathbb R$ 上のベクトル空間とすると $\{1,\i\}$ 、 $\{1+\i,1-\i\}$ 、 $\{2,3\i\}$ は基底である。 $\{1,\i,1+\i\}$ は線形従属なので基底ではない。

連立一次方程式、階数、核と像、固有空間。

$\mathbb R^3$ の標準基底と次元を答えよ。