行列式・固有値

行列式

行列式（determinant）

正方行列 $A=(a_{ij})$ に対して定義される交代和

\det A = \sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n} \left( \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i,\sigma(i)} \right)

を $A$ の行列式といい、

\det A \qquad\text{または}\qquad |A|

と表す。

2次正方行列

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc

3次正方行列

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}

は、

\begin{aligned} ={}& a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} \\ &-a_{13}a_{22}a_{31} -a_{12}a_{21}a_{33} -a_{11}a_{23}a_{32}. \end{aligned}

行列式の性質

行ベクトルを $a_1,a_2,\ldots,a_n$ とすると、任意の置換 $\sigma\in\mathfrak{S}_n$ に対して、

\det \begin{pmatrix} a_{\sigma(1)} \\ a_{\sigma(2)} \\ \vdots \\ a_{\sigma(n)} \end{pmatrix} = \operatorname{sgn}(\sigma) \det \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}.

同様に、

\det \left( a_{\sigma(1)}, a_{\sigma(2)}, \ldots, a_{\sigma(n)} \right) = \operatorname{sgn}(\sigma) \det \left( a_1, a_2, \ldots, a_n \right).

また、

\det A=\det A^{\top},

\det(AB)=\det A\,\det B.

$A$ が正則なら、

\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}.

小行列式・余因子・余因子行列

小行列式・余因子・余因子行列
（minor determinant, cofactor and adjugate matrix）

行列 $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 列を除いて得られる行列を、その位置 $(i,j)$ に対応する小行列といい、 $A_{ij}$ などと表す。

$A$ が正方行列であるとき、小行列 $A_{ij}$ の行列式

\det A_{ij}

を小行列式という。

位置 $(i,j)$ に対応する余因子を

C_{ij} = (-1)^{i+j}\det A_{ij}

と定義する。

余因子を並べた行列

C=(C_{ij})

の転置

\operatorname{adj}(A) = C^{\top}

を $A$ の余因子行列という。

すなわち、

\operatorname{adj}(A) = \left( (-1)^{i+j}\det A_{ij} \right)^{\top}.

$A_{ij}$ だけでは何を指しているのか分かりにくいため、「小行列 $A_{ij}$ 」などと明記することがある。

小行列を $M_{ij}$ と表すこともある。

行列と同じく、小行列そのものは行数と列数が一致している必要はない。一方、その行列式である小行列式は正方行列に対してのみ定義される。

小行列の例

例えば、

A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \end{pmatrix}

から第 $2$ 行と第 $3$ 列を除くと、

A_{23} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \end{pmatrix}

を得る。

2次正方行列の余因子行列

A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

ならば、

\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.

逆行列の表示

正則行列 $A$ に対して、

A^{-1} = \frac{1}{\det A} \operatorname{adj}(A).

特に、

A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

ならば、

\begin{aligned} A^{-1} &= \frac{1} {\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} \operatorname{adj} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \\[1ex] &= \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \end{aligned}

行列の対角化

正方行列 $A$ に対し、正則行列 $P$ を用いて

P^{-1}AP

が対角行列になるとき、 $A$ は対角化可能であるという。

固有値・固有ベクトル

固有値・固有ベクトル・固有方程式・固有多項式
（eigenvalue, eigenvector, characteristic equation, characteristic polynomial）

正方行列 $A$ に対して、

A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}

を満たすスカラー $\lambda$ と零ベクトルでないベクトル $\mathbf{x}$ が存在するとき、

$\lambda$ を $A$ の固有値、 $\mathbf{x}$ を固有値 $\lambda$ に関する固有ベクトルという。

単位行列 $I_n$ を用いると、

A\mathbf{x} = \lambda I_n\mathbf{x}

なので、

(A-\lambda I_n)\mathbf{x} = \mathbf{0}

と書ける。

この連立一次方程式が非自明解

\mathbf{x}\neq\mathbf{0}

を持つための必要十分条件は、

\det(A-\lambda I_n)=0

である。

この方程式を $A$ の固有方程式という。

また、

p_A(\lambda) = \det(\lambda I_n-A)

または符号の流儀によって

p_A(\lambda) = \det(A-\lambda I_n)

を $A$ の固有多項式という。

固有空間

固有空間（eigenspace）

行列 $A$ の固有値 $\lambda$ に対して、

E_\lambda = \left\{ \mathbf{x} \mid A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x} \right\}

とおく。

これは、

E_\lambda = \ker(A-\lambda I_n)

と書くこともできる。

$E_\lambda$ はベクトル空間の部分空間をなし、これを固有値 $\lambda$ に対応する固有空間という。

なお、固有ベクトルそのものの集合は零ベクトルを含まないため、厳密にはそれだけでは部分ベクトル空間ではない。

ケイリー・ハミルトンの定理

ケイリー・ハミルトンの定理（Cayley–Hamilton theorem）

$n$ 次正方行列 $A$ の固有多項式を $p_A(t)$ とすると、

p_A(A)=O

が成り立つ。

すなわち、任意の正方行列は自分自身の固有多項式を満たす。