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複体

定義：複体（complex）

$R$ -加群の列

\qquad (M^\bullet, d^\bullet) \equiv (M^n, d^n)_{n \in \Z}

\qquad \phantom{(M^\bullet, d^\bullet)} \equiv \cdots \xrightarrow{d^{n-2}} M^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} M^n \xrightarrow{d^n} M^{n+1} \xrightarrow{d^{n+1}} \cdots

が任意の $n \in \Z$ に対して、

\qquad d^n \circ d^{n-1} = 0

を満たすとき、 $(M^\bullet, d^\bullet)$ を複体と呼ぶ。

また各 $d^n$ を境界作用素と呼ぶ。

定義：コホモロジー群（cohomology group）

加群の複体

\qquad (C^\bullet, \delta^\bullet) \equiv \cdots \xrightarrow{\delta^{n-2}} C^{n-1} \xrightarrow{\delta^{n-1}} C^n \xrightarrow{\delta^n} C^{n+1} \xrightarrow{\delta^{n+1}} \cdots

において、各 $\delta^n$ が

\qquad \delta^n \circ \delta^{n-1} = 0

を満たすとき、 $(C^\bullet, \delta^\bullet)$ を余鎖複体と呼ぶ。

このとき、 $\ker \delta^n$ の元をコサイクル、 $\im \delta^{n-1}$ の元をコバウンダリと呼び、

\qquad H^n(C^\bullet) := \ker \delta^n / \im \delta^{n-1}

を $n$ 次コホモロジー群と呼ぶ。

定義：複体の圏（）

$R$ -加群の複体を対象とし、複体の射を射とする圏を $R$ -加群の複体の圏と呼び、 $C(\Mod{R})$ と表す。

命題：コホモロジーの関手性

$f \colon X^\bullet \to Y^\bullet$ を複体の射とする。このとき、 $H^n(f) \colon H^n(X^\bullet) \to H^n(Y^\bullet)$ なる自然な射が誘導される。

つまり、 $H^n$ は $R$ -加群の複体の圏 $C(\Mod{R})$ から加群の圏 $\Mod{R}$ への関手である。

命題：

以下の命題は同値である。