体

前提知識

集合、二項演算、群、環

概要

体は、加減乗除を行える代数系を抽象化したものである。

歴史的経緯

有理数・実数・複素数などの数体系の共通構造を抽象化する過程で体の概念が整備された。

本文

定義：体

集合 $K$ が加法と乗法について体であるとは、$K$ が可換環であり、$0$ でない任意の元が乗法逆元を持つことをいう。

例と反例

$\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ は体である。$\mathbb Z$ は $2$ の乗法逆元を持たないため体ではない。

応用例

線形代数、体拡大、ガロア理論、代数幾何学。

例題

$\mathbb Z/5\mathbb Z$ が体であることを確かめよ。