ベルヌーイ数

前提知識

べき級数、指数関数、二項係数、自然数のべき和

概要

ベルヌーイ数は自然数のべき和やテイラー展開などに現れる数列である。

歴史的経緯

ベルヌーイ数はヤコブ・ベルヌーイのべき和研究と深く関係する。

本文

自然数のべき和を $P_m(n)=\dsum_{k=1}^n k^m$ とする。例えば

$P_1(n)=\frac12n^2+\frac12n,$ $P_2(n)=\frac13n^3+\frac12n^2+\frac16n,$ $P_3(n)=\frac14n^4+\frac12n^3+\frac14n^2,$ $P_4(n)=\frac15n^5+\frac12n^4+\frac13n^3-\frac1{30}n.$

ベルヌーイ数 $B_n$ は生成関数

$\dfrac{x}{\e^x-1}=\dsum_{n=0}^{\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n$

によって定義できる。

例と反例

$B_0=1, B_1=-\frac12, B_2=\frac16$。符号規約には注意が必要である。

応用例

ファウルハーバーの公式、オイラー・マクローリン公式、ゼータ関数。

例題

生成関数から $B_0,B_1,B_2$ を求めよ。