代数多様体

代数多様体

アフィン代数多様体

定義：アフィン代数的集合

$$A=\{p\in S\mid f_1(p)=f_2(p)=\cdots=f_r(p)=0\}$$

また、

$$V(F) = \left\{ (a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb A_k^n \;\middle|\; f_i(a_1,\ldots,a_n)=0 \right\}.$$

定義：可約・既約・アフィン代数多様体

代数的閉体 $k$ 上の $n$ 次元アフィン空間 $\mathbb A_k^n$ 内の代数的集合 $V$ が、 代数的集合 $V_1,V_2$ を用いて

$$V=V_1\cup V_2 \qquad (V\neq V_1,\;V\neq V_2)$$

と表せるとき、$V$ を 可約（reducible） と呼ぶ。

可約でない $V$ を 既約（irreducible） と呼ぶ。

また、既約な代数的集合を アフィン代数多様体（affine algebraic variety） と呼ぶ。

命題

以下の命題は同値である。

1. $V$ のイデアル $I(V)$ は素イデアルである。
2. 代数的集合 $V$ は既約である。

証明

十分性

$V$ が可約であれば $I(V)$ は素イデアルでない。

したがって、その対偶をとることにより、

$$I(V)\text{ が素イデアル} \implies V\text{ は既約}$$

が得られる。

必要性

$V$ は既約であるが、$I(V)$ は素イデアルでないと仮定する。

すると、ある多項式 $f_1,f_2$ が存在して

$$f_1f_2\in I(V), \qquad f_1\notin I(V), \qquad f_2\notin I(V)$$

となる。

$I(V)$ と $f_1$ から生成されるイデアルを $J_1$、 $I(V)$ と $f_2$ から生成されるイデアルを $J_2$ とする。

$f_1,f_2\notin I(V)$ より、

$$V(J_1)\subsetneq V, \qquad V(J_2)\subsetneq V.$$

一方、

$$f_1f_2\in I(V)$$

であるから、$V$ の各点では

$$f_1f_2=0$$

となる。

したがって、

$$V=V(J_1)\cup V(J_2).$$

これは $V$ が既約であることに反する。

よって、

$$V\text{ が既約} \implies I(V)\text{ は素イデアル}$$

である。

定義：座標環

$n$ 次元アフィン空間 $\mathbb A_k^n$ 内の代数的集合 $V$ に対して、

$$k[V] := k[x_1,x_2,\ldots,x_n]/I(V)$$

を $V$ の 座標環（coordinate ring） という。

代数的集合 $V$ が既約であるための必要十分条件は、 その座標環 $k[V]$ が整域となることである。

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定義：代数的集合のイデアル

$V\subseteq k^n$ に対して、

$$I(V) := \left\{ f\in k[x_1,x_2,\ldots,x_n] \;\middle|\; \forall(a_1,\ldots,a_n)\in V,\; f(a_1,\ldots,a_n)=0 \right\}$$

を $V$ の イデアル と呼ぶ。

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定理：ヒルベルトの零点定理

代数的閉体 $k$ 上の多項式環

$$k[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$

のイデアル $J$ に対して、

$$I(V(J))=\sqrt{J}$$

が成り立つ。

証明

$\sqrt J\subseteq I(V(J))$

$f\in\sqrt J$ とする。

根基の定義より、ある自然数 $m$ が存在して

$$f^m\in J$$

となる。

$a\in V(J)$ ならば、

$$f^m(a)=0.$$

したがって、

$$f(a)=0.$$

よって、

$$f\in I(V(J)).$$

したがって、

$$\sqrt J\subseteq I(V(J)).$$

$I(V(J))\subseteq\sqrt J$

$f\in I(V(J))$ とする。

$f\in\sqrt J$、すなわち、ある自然数 $m$ に対して

$$f^m\in J$$

となることを示せばよい。

新しい変数 $x_0$ を導入し、

$$k[x_0,x_1,\ldots,x_n]$$

において、

$$1-x_0f(x_1,\ldots,x_n)$$

と $J$ から生成されるイデアル $\widetilde J$ を考える。

$$V(\widetilde J)\neq\varnothing$$

と仮定し、

$$(a_0,a_1,\ldots,a_n)\in V(\widetilde J)$$

とする。

$J\subseteq\widetilde J$ なので、

$$(a_1,\ldots,a_n)\in V(J).$$

$f\in I(V(J))$ より、

$$f(a_1,\ldots,a_n)=0.$$

一方、

$$1-x_0f\in\widetilde J$$

なので、

$$0 = 1-a_0f(a_1,\ldots,a_n) = 1$$

となり矛盾する。

したがって、

$$V(\widetilde J)=\varnothing.$$

よって $\widetilde J$ は単位元 $1$ を含む。

したがって、

$$1 = h(x_0,x_1,\ldots,x_n) (1-x_0f(x_1,\ldots,x_n)) + \sum_{j=1}^{l} g_j(x_0,x_1,\ldots,x_n) f_j(x_1,\ldots,x_n),$$

ただし、

$$h,g_j\in k[x_0,x_1,\ldots,x_n], \qquad f_j\in J.$$

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射影多様体

定義：射影代数的集合

斉次多項式の族 $F=\{F_i\}$ に対して、

$$V_h(F) = \left\{ [a_0:\cdots:a_n]\in\mathbb P_k^n \;\middle|\; F_i(a_0,\ldots,a_n)=0 \right\}$$

を射影代数的集合という。

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補助命題

命題：代数的集合のイデアル

「$k^n$ の元 $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ のうち、$V$ に含まれるものすべてに対して

$$f(a_1,a_2,\ldots,a_n)=0$$

が成り立つ多項式 $f$ のなす集合」はイデアルをなす。

すなわち、

$$I(V) = \left\{ f\in k[x_1,\ldots,x_n] \;\middle|\; \forall a\in V,\;f(a)=0 \right\}$$

は

$$k[x_1,\ldots,x_n]$$

のイデアルである。

証明

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定義：イデアルの根基

可換環 $R$ のイデアル $I$ に対して、

$$\sqrt I := \left\{ x\in R \;\middle|\; \exists m\in\mathbb N,\;x^m\in I \right\}$$

を $I$ の 根基 と呼ぶ。

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補題：$x^m=0\implies x=0$

次の補題は、整域の基本性質

$$ab=0 \implies (a=0\lor b=0)$$

の繰り返し適用である。

補題

$R$ を整域とするとき、$x\in R$ に対して、

$$x^m=0 \implies x=0$$

が成り立つ。

証明

$$x^m=x\cdot x^{m-1}=0.$$

$R$ は整域であるため零因子を持たない。したがって、

$$x=0 \qquad\text{または}\qquad x^{m-1}=0.$$

$x=0$ ならば証明は終了する。

$x^{m-1}=0$ ならば、

$$x^{m-1}=x\cdot x^{m-2}=0$$

より、

$$x=0 \qquad\text{または}\qquad x^{m-2}=0.$$

この操作を有限回繰り返すことにより、最終的に

$$x=0$$

を得る。

$\Box$

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スキーム

定義：環付き空間・局所環付き空間

位相空間 $X$ と、その上の環の層 $\mathcal O_X$ の組

$$(X,\mathcal O_X)$$

を 環付き空間（ringed space） と呼ぶ。

さらに、各点 $x\in X$ における茎

$$\mathcal O_{X,x}$$

が局所環であるとき、

$$(X,\mathcal O_X)$$

を 局所環付き空間（locally ringed space） と呼ぶ。

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定義：アフィンスキーム

可換環 $R$ に対して、

$$\operatorname{Spec}R$$

に自然な構造層 $\mathcal O_{\operatorname{Spec}R}$ を入れた局所環付き空間

$$(\operatorname{Spec}R,\mathcal O_{\operatorname{Spec}R})$$

を アフィンスキーム（affine scheme） と呼ぶ。

アフィンスキームは局所環付き空間の例である。

大域切断

アフィンスキームでは、

$$\Gamma(\operatorname{Spec}R,\mathcal O_{\operatorname{Spec}R}) \cong R$$

が成り立つ。

また、基本開集合 $D(f)$ 上では、

$$\Gamma(D(f),\mathcal O_{\operatorname{Spec}R}) \cong R_f$$

となる。

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定義：大域切断・局所切断

位相空間 $X$ 上の層 $\mathcal F$ に対して、

$$\mathcal F(X)$$

の元を $\mathcal F$ の 大域切断（global section） と呼ぶ。

大域切断全体は

$$\Gamma(X,\mathcal F)$$

と表す。

また、開集合 $U\subseteq X$ に対して、

$$\mathcal F(U)$$

の元を $U$ 上の 局所切断（local section） と呼ぶ。

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アフィンスキームの性質

アフィンスキーム $X=\operatorname{Spec}R$ と準連接層 $\mathcal F$ に対して、

$$H^i(X,\mathcal F)=0 \qquad(i>0)$$

が成り立つ。

また、

$$\Gamma(\operatorname{Spec}R,\mathcal O_{\operatorname{Spec}R}) \cong R.$$