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定義：アフィン空間

公理1 任意の $a \in V^n$ に対して、写像 $f_a \colon X \to X$ が定まる。

公理2 任意の $P,Q \in X$ に対して、

$$\qquad f_x(a)=b$$

となる平行移動 $f_a$ がただ一つ存在する。

公理3 任意の $a,b \in V^n$ に対して、

$$\qquad f_{a+b}=f_b \circ f_a$$

が成り立つ。

$$f_x(a)=a+x$$

定義：アフィン空間

集合 $A$ と体 $K$ 上の $n$-次元ベクトル空間 $V$ の組 $(A,V)$ が $K$ 上の $n$-次元アフィン空間であるとは、次の $3$ 条件が成り立つときにいう。

1. 任意の $P \A, a \in V$ に対し、

$$\vector{PQ} = \vb{a}$$

を満たす $Q \in A$ はただ一つ存在する。これを $Q=T_a(P)$ あるいは $Q=P+\vb a$ と記し、$\vb a$ が定める写像 $T_a \colon A \to A$ を $\vb a$ の定める平行移動という。

2. 任意の $a,b \in V$ に対し、

$$T_{\vb b} \circ T_{\vb a} = T_{\vb a+\vb b}$$

が成り立つ。すなわち、任意の点 $P \in A$ に対し、

$$(P+a)+b=P+(a+b)$$

が成り立つ。

3. $A$ の任意の二点 $P,Q$ の組 $(P,Q)$ に対し、$Q=P+a$ を満たす $a \in V$ がただ一つ定まる。これを

$$\vb{a}=\vector{PQ}$$

と表す。これを（$Q=P+a$ が成り立つことを示唆して）$a=Q-P$ と表すこともある。

このとき、$A$ をアフィン空間 $(A,V)$ の台集合とよび、$V$ を付随するベクトル空間、随伴ベクトル空間、同伴なベクトル空間などとよび、$V=V(A)$ あるいは $V=\operatorname{Vect}(A)$ などと表す。