定理1: 整域の零イデアルは素イデアル
$R$を整域とするとき、そのイデアル$\angle{0_R}_R$に対して、以下が成り立つ。
$$\angle{0_R} \primeideal R$$
$$\angle{0_R} \primeideal R$$
整域の定義より、
$$ab = \angle{0_R}_R \implies a = 0_R \lor b = 0_R$$
$\angle{0_R}_R = \qty{0_R}$であるから、
$$ab \in \angle{0_R}_R \implies a \in \angle{0_R}_R \lor b \in \angle{0_R}_R.$$
ゆえに、$\angle{0_R}_R$は素イデアルである。$\Box$
$$ab = \angle{0_R}_R \implies a = 0_R \lor b = 0_R$$
$\angle{0_R}_R = \qty{0_R}$であるから、
$$ab \in \angle{0_R}_R \implies a \in \angle{0_R}_R \lor b \in \angle{0_R}_R.$$
ゆえに、$\angle{0_R}_R$は素イデアルである。$\Box$
