微分とは？導関数とは？
微分公式
微分公式を証明するにあたって、関数同士の四則演算は以下のように書き換えられることを留意していただきたい。
| $f(x) + g(x) = (f + g)(x)$ |
| $f(x) \minus g(x) = (f \minus g)(x)$ |
| $f(x)g(x) = (fg)(x)$ |
| $\dfrac{f(x)}{g(x)} = \qty( \dfrac{f}{g} )(x)$ |
微分の線形性
微分の和によって分配できる性質（加法性）と係数を前に出すことができる性質（斉次性）を合わせて線形性と呼ぶ。
加法性
$\qty\big( f(x) + g(x) )’ = f'(x) + g'(x)$
証明
| $\qty\big( f(x) + g(x))’$ |
| $= \qty\big( (f + g)(x) )’$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0}\dfrac{(f + g)(x + \Delta x) \minus (f + g)(x) }{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \qty\big( f(x + \Delta x) + g(x + \Delta x) ) \minus \qty\big( f(x) + g(x) ) }{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\qty\big( f(x + \Delta x) \minus f(x)) + \qty\big( g(x + \Delta x) \minus g(x) )}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{\qty\big( f(x + \Delta x) \minus f(x)) }{\Delta x} + \dfrac{\qty\big( g(x + \Delta x) \minus g(x) )}{\Delta x} )$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\qty\big( f(x + \Delta x) \minus f(x)) }{\Delta x} + \dlim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\qty\big( g(x + \Delta x) \minus g(x) )}{\Delta x}$ |
| $=f'(x) + g'(x).$ |
斉次性
$\qty\big( af(x) )’ = af'(x)$
証明
| $\qty\big( af(x) )’$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0}\dfrac{af(x + \Delta x) \minus af(x)}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0}\dfrac{a\qty\big( f(x + \Delta x) \minus f(x) )}{\Delta x}$ |
| $=a\dlim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x + \Delta x) \minus f(x)}{\Delta x}$ |
| $=af'(x)$ |
積の微分（ライプニッツ則）
$\qty\big( f(x)g(x) )’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
証明
| $\qty\big( f(x)g(x) )’$ |
| $= (fg)'(x)$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ (fg)(x + \Delta x) \minus (fg)(x) }{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) \minus f(x)g(x) }{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) \minus f(x)g(x) + \qty\big( f(x)g(x + \Delta x) \minus f(x)g(x + \Delta x) )}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ f(x + \Delta x)g(x + \Delta x) \minus f(x)g(x + \Delta x) }{\Delta x} + \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ f(x)g(x + \Delta x) \minus f(x)g(x) }{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{ f(x + \Delta x) \minus f(x) }{\Delta x} g(x + \Delta x) ) + \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( f(x) \dfrac{ g(x + \Delta x) \minus g(x) }{\Delta x} )$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ f(x + \Delta x) \minus f(x) }{\Delta x} \dlim_{\Delta x \to 0} g(x + \Delta x) + \dlim_{\Delta x \to 0} f(x) \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x + \Delta x) \minus g(x) }{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ f(x + \Delta x) \minus f(x) }{\Delta x} \dlim_{\Delta x \to 0} g(x + 0) + \dlim_{\Delta x \to 0} f(x) \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x + \Delta x) \minus g(x) }{\Delta x}$ |
| $= f'(x)g(x) + f(x)g'(x). \Box$ |
商の微分
分子が1の場合
$\qty( \dfrac{1}{f(x)} )’ = \minus \dfrac{f'(x)}{ \qty\big( f(x) )^2 }$
証明
| $\qty( \dfrac{1}{f(x)} )’$ |
| $= \qty( \qty\big(f(x))^{\minus 1} )’$ |
| $= \ddv{ \qty\big(f(x))^{\minus 1} }{f(x)} \ddv{f(x)}{x}$ |
| $= \minus f(x)^{\minus 2} f'(x)$ |
| $= \minus \dfrac{f'(x)}{\qty\big(f(x))^2} . \Box$ |
一般の場合
$\qty( \dfrac{f(x)}{g(x)} )’ = \dfrac{ f'(x)g(x) \minus f(x)g'(x) }{ \qty\big( g(x) )^2 }$
「分子が $1$ の場合」を用いた証明
| この方法では、「分子が $1$ の場合」を許容していることに注意していただきたい。 |
| $\qty( \dfrac{f(x)}{g(x)} )’$ |
| $= \qty( f(x) \times \dfrac{1}{g(x)} )’$ |
| 「積の微分」より、 |
| $\qty\big(f(x))’\qty(\dfrac{1}{g(x)}) + f(x) \qty(\dfrac{1}{g(x)})’$ |
| $= \dfrac{f'(x)}{g(x)} + f(x) \qty( \minus \dfrac{g'(x)}{\qty\big(g(x))^2})$ |
| $= \dfrac{f'(x)g(x)}{\qty\big( g(x) )^2} \minus \dfrac{f(x)g'(x)}{\qty\big(g(x))^2}$ |
| $= \dfrac{f'(x)g(x) \minus f(x)g'(x)}{\qty\big(g(x))^2}. \Box$ |
導関数の定義を用いた証明
| この方法を用いると、遠回りだが、独立した公式として証明できる。 |
| $\qty( \dfrac{f(x)}{g(x)} )’$ |
| $= \qty(\dfrac{f}{g})'(x)$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \qty(\dfrac{f}{g})(x + \Delta x) \minus \qty(\dfrac{f}{g})(x) }{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{ \dfrac{f(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x)} \minus \dfrac{f(x)}{g(x)} }{\Delta x} \times \dfrac{g(x + \Delta x)g(x)}{g(x + \Delta x)g(x)} )$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x)g(x) \minus f(x)g(x + \Delta x)}{\Delta x} \times \dfrac{1}{g(x + 0)g(x)}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x)g(x) \minus f(x)g(x + \Delta x) + \qty\big( f(x)g(x) \minus f(x)g(x) )}{\Delta x} \times \dfrac{1}{\qty\big( g(x) )^2}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x)g(x) \minus f(x)g(x)}{\Delta x} + \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x)g(x) \minus f(x)g(x + \Delta x)}{\Delta x} \times \dfrac{1}{\qty\big( g(x) )^2}$ |
| $= \left( \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x + \Delta x) \minus f(x)}{\Delta x} \times \dlim_{\Delta x \to 0} g(x) \minus \dlim_{\Delta x \to 0} f(x) \times \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x + \Delta x) \minus g(x)}{\Delta x} \right) \times \dfrac{1}{\qty\big( g(x) )^2}$ |
| $= \dfrac{ f'(x)g(x) \minus f(x)g'(x) }{ \qty\big( g(x) )^2 }$ |
合成関数の微分（連鎖律）
$\ddv{ f\qty\big(g(x)) }{x}= \ddv{f(x)}{g(x)} \ddv{g(x)}{x}$
$\qty\Big( (f \circ g)(x) = f’\qty\big(g(x)) g'(x) )$
合成関数 $f\qty\big(g(x))$ の $x$ による微分は、$f\qty\big(g(x))$ を $g(x)$ で微分したものと、$g(x)$ を $x$ で微分したものの積になる。
誤った証明
| $\ddv{ f\qty\big(g(x)) }{x}$ |
| $=\dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f\qty\big( g(x + \Delta x) ) \minus f\qty\big( g(x) )}{\Delta x}$ |
| $=\dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{f\qty\big( g(x + \Delta x) ) \minus f\qty\big( g(x) ) }{\Delta x} \times \dfrac{g(x + \Delta x) \minus g(x)}{g(x + \Delta x) \minus g(x)} )$ |
| $=\dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f\qty\big( g(x + \Delta x) ) \minus f\qty\big( g(x) )}{g(x + \Delta x) \minus g(x)} \times \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x + \Delta x) \minus g(x)}{\Delta x}$ |
| $= \ddv{f(x)}{g(x)} \ddv{g(x)}{x}. \Box$ |
| （$g(x + \Delta x) \minus g(x)$ が $g(x)$ の増分になっていることは、$x$ の増分が $(x + \Delta x) \minus x = \Delta x$ によって導かれるのと同じことである。） |
| この証明方法は、$g(x + \Delta x) \minus g(x) = 0$ のときに導関数を定義できない。$g(x + \Delta x) \minus g(x) = 0$ となる関数の例としては、定数関数である。 |
| $g(x + \Delta x) \minus g(x)$ |
| $= c(x + \Delta x)^0 \minus cx^0$ |
| $= c \minus c$ |
| $= 0.$ |
証明
| $\Delta g(x) := g(x + \Delta x) \minus g(x)$ として、以下の関数 $p(\Delta x),\, q\qty\big(g(\Delta x))$ を導入することで、$\Delta g(x) = 0$ の場合にも $\ddv{f\qty\big(g(x))}{x}$ を定義できるようにする。 |
| $p(\Delta x) = \begin{cases} \dfrac{g(x + \Delta x) \minus g(x)}{\Delta x} \minus g'(x) \quad (\text{$\Delta x \neq 0$ のとき}) \\[1.5ex] 0 \quad (\text{$\Delta x = 0$ のとき}) \end{cases}$ |
| $q\qty\big(g(\Delta x)) = \begin{cases} \dfrac{ f(g(x + \Delta x)) \minus f\qty\big(g(x)) }{ g(x + \Delta x) \minus g(x) } \minus f’\qty\big(g(x)) \quad (\text{$\Delta g(x) \neq 0$ のとき}) \\[1.5ex] 0 \quad (\text{$\Delta g(x) = 0$ のとき}) \end{cases}$ |
| $p(\Delta x) = \dfrac{g(x + \Delta x) \minus g(x)}{\Delta x} \minus g'(x)$ |
| $\iff \dfrac{g(x + \Delta x) \minus g(x)}{\Delta x} = g'(x) + p(\Delta x)$ |
| $\iff g(x + \Delta x) \minus g(x) = \qty\big( g'(x) + p(\Delta x) )\Delta x$ |
| $q\qty\big(\Delta g(x)) = \dfrac{ f(g(x + \Delta x)) \minus f\qty\big(g(x)) }{ g(x + \Delta x) \minus g(x) } \minus f’\qty\big(g(x))$ |
| $\iff \dfrac{ f(g(x + \Delta x)) \minus f\qty\big(g(x)) }{ g(x + \Delta x) \minus g(x) } = f’\qty\big(g(x)) + q\qty\big(\Delta g(x))$ |
| $\iff f(g(x + \Delta x)) \minus f\qty\big(g(x)) = \qty\Big( f’\qty\big(g(x)) + q\qty\big(\Delta g(x)) ) \qty\big( g(x + \Delta x) \minus g(x) )$ |
| $(f \circ g)'(x) = \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f\qty\big( g(x + \Delta x) ) \minus f\qty\big( g(x) )}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \qty\Big( f’\qty\big(g(x)) + q\qty\big(\Delta g(x)) ) \qty\big( g(x + \Delta x) \minus g(x) ) }{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \qty\Big( f’\qty\big(g(x)) + q\qty\big(\Delta g(x)) ) \qty\big( g'(x) + p(\Delta x) )\Delta x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty\Big( f’\qty\big(g(x)) + q\qty\big(\Delta g(x)) ) \dlim_{\Delta x \to 0} \qty\big( g'(x) + p(\Delta x) )$ |
| $\Delta x \to 0$ は $\Delta x = 0$ を意味し、$\Delta g(x) = g(x + \Delta x) \minus g(x) = 0$ のときは $\Delta x = 0$ のときに等しいから、$p(\Delta x),\, q\qty\big(\Delta g(x))$ の定義より、 |
| $= f’\qty\big(g(x)) g'(x). \Box$ |
逆関数の微分
$\ddv{x}{y} = \dfrac{1}{\ddv{y}{x}}$
証明
| $x$ と $y$ が互いに逆関数であるとは、$y = f(x),\, x = g(y)$ と表せることであるので、 |
| $x= g(y)$ |
| $\iff x = g\qty\big(f(x))$ |
| 両辺を $x$ で微分すると、 |
| $1 = \ddv{g\qty(\big(f(x))}{x}$ |
| 「合成関数の微分」より |
| $\iff 1 = \ddv{g\qty(\big(f(x))}{f(x)} \ddv{f(x)}{x}$ |
| $\iff \ddv{g\qty(\big(f(x))}{f(x)} = \dfrac{1}{\ddv{f(x)}{x}}$ |
| $y = f(x),\, x = g(y)$であるから、これを書き換えると、 |
| $\iff \ddv{g(y)}{y} = \dfrac{1}{\ddv{y}{x}}$ |
| $\iff \ddv{x}{y} = \dfrac{1}{\ddv{y}{x}}. \Box$ |
媒介変数表示の微分
$x=x(t),\, y=y(t) \implies \ddv{y}{x} = \dfrac{ \ddv{y}{t} }{ \ddv{x}{t} }$
「合成関数の微分」を用いた証明
| $y = f(t),\, x = g(t)$とし、$g(t)$に逆関数が存在して、$t = g^{\minus 1}(x)$と表せるとする。 |
| $\ddv{y}{x}$ |
| $= \ddv{f\qty\big( g^{\minus 1}(x) )}{x}$ |
| 「合成関数の微分」より、 |
| $= \ddv{f\qty\big( g^{\minus 1}(x) )}{g^{\minus 1}(x)} \ddv{g^{\minus 1}(x)}{x}$ |
| $= \ddv{f(t)}{t} \ddv{t}{x}$ |
| $= \ddv{y}{t} \ddv{t}{x}$ |
| $= \ddv{y}{t} \times \dfrac{1}{\ddv{x}{t}}$ |
| $= \dfrac{\ddv{y}{t}}{\ddv{x}{t}}. \Box$ |
導関数の定義を用いた証明
| 「合成関数の微分」を用いずに、導関数の定義を用いて遠回りな方法で証明する。 |
| $\ddv{y}{x}$ |
| $ = \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ f\qty\big( g^{\minus 1}(x + \Delta x) ) \minus f\qty\big( g^{\minus 1}(x) ) }{\Delta x}$ |
| $ = \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{ f\qty\big( g^{\minus 1}(x + \Delta x) ) \minus f\qty\big( g^{\minus 1}(x) ) }{g^{\minus 1}(x + \Delta x) \minus g^{\minus 1}(x)} \times \dfrac{g^{\minus 1}(x + \Delta x) \minus g^{\minus 1}(x)}{\Delta x} )$ |
| $\Delta t = g^{\minus 1}(x + \Delta x) \minus g^{\minus 1}(x),\, \Delta x = g(t + \Delta t) \minus g(t)$となることから、$\Delta t = g^{\minus 1}(x + \Delta x) \minus g^{\minus 1}(x) \iff g^{\minus 1}(x + \Delta x) = g^{\minus 1}(x) + \Delta t$が得られ、かつ$g^{\minus 1}(x) = t$であるから、$x$ の極限を $t$ の極限に置き換え、 |
| $ = \dlim_{\Delta t \to 0} \qty( \dfrac{ f( t + \Delta t ) \minus f(t) }{\Delta t} \times \dfrac{\Delta t}{g(t + \Delta t) \minus g(t)} )$ |
| $ = \dlim_{\Delta t \to 0} \dfrac{ \dfrac{ f( t + \Delta t ) \minus f(t) }{\Delta t} } { \dfrac{ g(t + \Delta t) \minus g(t) }{ \Delta t } }$ |
| $ = \dfrac{ \dlim_{\Delta t \to 0} \dfrac{ f( t + \Delta t ) \minus f(t) }{\Delta t} } { \dlim_{\Delta t \to 0} \dfrac{ g(t + \Delta t) \minus g(t) }{ \Delta t } }$ |
| $= \dfrac{\ddv{y}{t}}{\ddv{x}{t}}. \Box$ |
初等関数の導関数
べき関数
自然数・負の整数・分子が1の分数（単位分数）・有理数・実数の場合をそれぞれ示す。
（実数の場合の証明には「指数関数の導関数」や「対数関数の導関数」を用いるから、独立した公式として証明できるのは、有理数の場合までである。）
指数が自然数の場合の証明
$\qty(x^n)’ = nx^{n \minus 1}$
$n$ を自然数とすると、$x^n$ は実数全体で定義される。
例：$3^2, \pi^2$
証明
| $\dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{(x + \Delta x)^n \minus x^n}{\Delta x}$ |
| 二項定理より、 |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \qty( \bc{n}{0} x^0 (\Delta x)^{n \minus 0} + \bc{n |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \qty( \bc{n}{0} x^0 (\Delta x)^{n \minus 0} + \bc{n}{1} x^1 (\Delta x)^{n \minus 1} + \cdots + \bc{n}{n \minus 1} x^{n \minus 1} (\Delta x)^{n \minus (n \minus 1)} + \bc{n}{n} x^n (\Delta x)^{n \minus n} ) \minus x^n}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \qty( (\Delta x)^n + nx (\Delta x)^{n \minus 1} + \cdots + nx^{n \minus 1} \Delta x + x^n ) \minus x^n}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{(\Delta x)^n + nx (\Delta x)^{n \minus 1} + \cdots + nx^{n \minus 1} \Delta x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( (\Delta x)^{n \minus 1} + nx (\Delta x)^{n \minus 2} + \cdots + nx^{n \minus 1})$ |
| $\Delta x \to 0$ によって、$\Delta x$ を含む項はすべて $0$ になるから、 |
| $= nx^{n \minus 1}. \Box$ |
指数が負の整数の場合の証明
$(x^{\minus n})’ = \minus nx^{\minus n \minus 1}$
$\minus n$を負の整数とすると、$x^{\minus n}$ は $x$ が $0$ 以外の実数全体のとき定義される。
例：$3^{\minus 2},\, \pi^{\minus 2}$
証明
| $\qty(x^{\minus n})’$ |
| $= \qty(\dfrac{1}{x^n})’$ |
| 「商の微分」より、 |
| $= \minus \dfrac{(x^n)’}{(x^n)^2}$ |
| 「指数が自然数の場合」より、 |
| $= \minus \dfrac{nx^{n \minus 1}}{x^{2n}}$ |
| $= \minus nx^{(n \minus 1) \minus 2n}$ |
| $= \minus nx^{\minus n \minus 1}. \Box$ |
指数が 分子が1の分数 の場合の証明
$\qty( x^{\frac{1}{n}} )’ = \dfrac1n x^{ \frac1n \minus 1 }$
証明
| $n$ を整数とする。$x^{\frac{1}{n}}$ は $x$ が正の実数の範囲で定義される。 |
| $y = x^{\frac{1}{n}}$ |
| $\iff y = \sqrt[n]{x}$ |
| $\implies y^n = x$ |
| となる。 |
| $\ddv{ x^{\frac{1}{n}} }{x}$ |
| $= \ddv{y}{x}$ |
| 「逆関数の微分」より、 |
| $= \dfrac{1}{ \ddv{x}{y} }$ |
| $x = y^n$ であるから、 |
| $= \dfrac{1}{ \ddv{y^n}{y} }$ |
| $= \dfrac{1}{ ny^{n \minus 1} }$ |
| $y = x^{\frac{1}{n}}$ であるから、 |
| $= \dfrac{1}{ n\qty( x^{\frac1n} )^{n \minus 1} }$ |
| $= \dfrac{1}{ nx^{\frac1n(n \minus 1)} }$ |
| $= \dfrac{1}{ nx^{ 1 \minus \frac1n } }$ |
| $= \dfrac1n \times \dfrac{1}{ x^{ 1 \minus \frac1n } }$ |
| $= \dfrac1n x^{ \minus \qty( 1 \minus \frac1n )}$ |
| $= \dfrac1n x^{ \frac1n \minus 1 }. \Box$ |
指数が有理数の場合の証明
$\qty( x^{\frac{m}{n}} )’ = \dfrac{m}{n} x^{\frac{m}{n} \minus 1}$
$m, n$を整数とする。$x$ が正の実数の範囲で定義される。
例：$2^{\frac13}=\sqrt[3]2$ は定義可能だが、$(\minus 3)^{\frac12} = \sqrt{\minus 3}$ は複素数なので定義不能。（よって、$x >0$ の範囲でしか定義されない。）
証明
| $\ddv{x^{\frac{m}{n}}}{x}$ |
| $= \ddv{ \qty(x^{\frac1n})^m }{x}$ |
| $= \ddv{\qty(x^{\frac1n})^m}{x^{\frac1n}} \ddv{x^{\frac1n}}{x}$ |
| 「指数が自然数の場合」と「指数が 分子が1の分数 の場合」より、 |
| $= m\qty(x^{\frac1n})^{m \minus 1} \times \dfrac1n x^{\frac1n \minus 1}$ |
| $= mx^{\frac{m \minus 1}{n}} \times \dfrac1n x^{\frac1n \minus 1}$ |
| $= \frac{m}{n} x^{\frac{m \minus 1}n + (\frac1n \minus 1)}$ |
| $= \frac{m}{n} x^{\frac{m \minus 1}n + \frac{1 \minus n}n}$ |
| $= \frac{m}{n} x^{\frac{m – n}n + \frac{1 \minus n}n}$ |
| $= \frac{m}{n} x^{\frac{m}n \minus 1}. \Box$ |
指数が実数の場合
$\qty(x^\alpha)’ = \alpha x^{\alpha – 1}$
$\alpha$ を実数とすると、$x^\alpha$ は $x$ が正の実数の範囲で定義される。（有理数と同様に $x >0$ の範囲でしか定義されない。）
「指数関数の導関数」を用いた証明
| $x^\alpha = \e^{\log_\e x^\alpha}$ となることを用いて証明する。 |
| $\qty(x^\alpha)’$ |
| $= \ddv{\e^{\log_\e x^\alpha}}{x}$ |
| 「合成関数の微分」より、 |
| $= \ddv{\e^{\log_\e x^\alpha}}{\log_\e x^\alpha} \ddv{\log_\e x^\alpha}{x}$ |
| $= \ddv{\e^{\log_\e x^\alpha}}{\log_\e x^\alpha} \ddv{\alpha\log_\e x}{x}$ |
| 「微分の線形性」より、 |
| $= \ddv{\e^{\log_\e x^\alpha}}{\log_\e x^\alpha} \times \alpha \ddv{\log_\e x}{x}$ |
| $= \e^{\log_\e x^\alpha} \times \alpha\qty(\dfrac1x)$ |
| $= x^\alpha \times \dfrac{\alpha}{x}$ |
| $= \alpha x^{\alpha – 1}. \Box$ |
「対数関数の導関数」を用いた証明
| $f(x) = x^\alpha$ |
| 両辺の絶対値の対数を取ると、 |
| $\implies \log_\e \bigl| f(x) \bigr| = \log_\e\abs{x^\alpha}$ |
| べき関数は $x >0$ のとき $f(x) > 0$ であるから、 |
| $\iff \log_\e f(x) = \log_\e x^\alpha$ |
| $\iff \log_\e f(x) = \alpha\log_\e x$ |
| 両辺を微分すると、 |
| $\implies \qty\big(\log_\e f(x))’ = \qty(\alpha\log_\e x)’$ |
| 「合成関数の微分」と「微分の線形性」より、 |
| $\iff \ddv{\log_\e f(x)}{x} = \alpha \qty(\log_\e x)’$ |
| $\iff \ddv{\log_\e f(x)}{f(x)} \ddv{f(x)}{x} = \alpha\qty(\dfrac1x)$ |
| $\iff \qty(\dfrac1{f(x)}) f'(x) = \dfrac{\alpha}x$ |
| $\iff f'(x) = \dfrac{\alpha f(x)}{x}$ |
| $\iff f'(x) = \dfrac{\alpha x^\alpha}{x}$ |
| $\iff f'(x) = \alpha x^{\alpha \minus 1}. \Box$ |
$\frac1x$ の導関数
$\qty(\dfrac 1x)’ = \minus \dfrac{1}{x^2}$
証明
| $\qty(\dfrac1x)’$ |
| $= \qty(x^{\minus 1})’$ |
| 「べき関数の導関数」より、 |
| $= (\minus 1)x^{\minus 1}$ |
| $= \minus x^{\minus 1}. \Box$ |
$\sqrt x$ の導関数
$\qty(\sqrt x)’ = \dfrac{1}{2\sqrt x}$
証明
| $\qty(\sqrt x)’$ |
| $= \qty(x^{\frac12})’$ |
| 「べき関数の導関数」より、 |
| $= \qty(\dfrac12)x^{\frac12 \minus 1}$ |
| $= \qty(\dfrac12)x^{\minus \frac12}$ |
| $= \dfrac{1}{2\sqrt x}. \Box$ |
指数関数
$\qty(a^x)’ = a^x \log_\e a$
証明
| $\dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{a^{x + \Delta x} \minus a^x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{a^x a^{\Delta x} \minus a^x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{a^x \qty( a^{\Delta x} \minus 1 )}{\Delta x}$ |
| 「極限の線形性」と $a^{\Delta x} = \e^{\log_\e a^{\Delta x}}$ より、 |
| $= a^x \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\e^{\log_\e a^{\Delta x}} \minus 1}{\Delta x}$ |
| $= a^x \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \e^{\log_\e a^{\Delta x}} \minus 1 }{\log_\e a^{\Delta x}} \dfrac{\log_\e a^{\Delta x}}{\Delta x}$ |
| $= a^x \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \e^{\log_\e a^{\Delta x}} \minus 1 }{\log_\e a^{\Delta x}} \dfrac{\Delta x \log_\e a}{\Delta x}$ |
| 「極限の線形性」より、 |
| $= a^x \log_\e a \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \e^{\log_\e a^{\Delta x}} \minus 1 }{\log_\e a^{\Delta x}}$ |
| 「ネイピア数の性質」より、$\dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \e^{\log_\e a^{\Delta x}} \minus 1 }{\log_\e a^{\Delta x}} \minus 1 = 1$ が成り立つから、 |
| $= a^x \log_\e a. \Box$ |
底が$\e$の指数関数
$\qty(\e^x)’ = \e^x$
証明
| $\qty(\e^x)’$ |
| $= \e^x \log_\e \e$ |
| $= \e^x. \Box$ |
対数関数
$(\log_a x)’ = \dfrac{1}{x\log_\e a}$
導関数の定義を用いた証明
| $(\log_a x)’$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\log_a (x + \Delta x) – \log_a x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \log_a \frac{x + \Delta x}{x} }{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac1{\Delta x} \log_a \qty(1 + \dfrac{\Delta x}{x})$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \log_a \qty(1 + \dfrac{\Delta x}{x})^{\frac1{\Delta x}}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \log_a \qty(1 + \dfrac{\Delta x}{x})^{\frac1{\Delta x} \times \frac{x}{x}}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \log_a \qty(1 + \dfrac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x} \times \frac{1}{x}}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \log_a \qty( \qty(1 + \dfrac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}} )^{\frac1x}$ |
| ネイピア数の定義より、$\dlim_{\Delta x \to 0} \qty(1 + \dfrac{\Delta x}{x})^{\frac{x}{\Delta x}} = \e$ となるから、 |
| $= \log_a \e^{\frac1x}$ |
| $= \dfrac1x \log_a \e$ |
| 「底の変換公式」より、$\log_a \e = \dfrac{ \log_\e \e }{ \log_\e a } = \dfrac1{ \log_\e a }$ とできるから、 |
| $= \dfrac{1}{x\log_\e a}. \Box$ |
「逆関数の微分」を用いた証明
| $(\log_a x)’$ |
| $y = \log_a x$ とすれば、$x = a^y$ となるから、「逆関数の微分」より、 |
| $= \dfrac1{ \ddv{a^y}{y} }$ |
| $= \dfrac1{ a^y \log_\e a }$ |
| $a^y = x$ であるから、 |
| $= \dfrac1{ x\log_\e a }. \Box$ |
底が$\e$の対数関数
$(\log_\e x)’ = \dfrac1x$
証明
| $(\log_\e x)’$ |
| $= \dfrac{1}{x\log_\e \e}$ |
| $ = \dfrac1x. \Box$ |
三角関数
正弦関数
$(\sin x)’ = \minus \cos x$
加法定理を用いた証明
| $(\sin x)’$ |
| $= \dfrac{\sin(x + \Delta x) \minus \sin \Delta x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\qty\big( \sin x \cos \Delta x + \cos x \sin \Delta x ) \minus \sin x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin x \qty\big(\cos \Delta x \minus 1) + \cos x \sin \Delta x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \sin x \dfrac{\cos \Delta x \minus 1}{\Delta x} + \cos x \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x} )$ |
| $= \sin x \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos \Delta x \minus 1}{\Delta x} + \cos x \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}$ |
| $\dfrac{\cos \Delta x \minus 1}{\Delta x} = 0$ 1 が成り立ち、「sinc関数の極限」より、$\dlim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1$ が成り立つから、 |
| $= \sin x \times 0 + \cos x \times 1$ |
| $\cos x. \Box$ |
和積の公式を用いた証明
| $(\sin x)’$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin(x + \Delta x) \minus \sin \Delta x}{\Delta x}$ |
| 「和積の公式」より、 |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ 2\cos \frac{(x + \Delta x) + x}{2} \sin \frac{(x + \Delta x) \minus x }{2} }{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{ 2\cos \frac{2x + \Delta x}{2} \sin \frac{\Delta x}{2} }{\Delta x} \times \dfrac{\frac12}{\frac12} )$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \cos \qty( x + \frac{\Delta x}{2} ) \dfrac{ \sin \frac{\Delta x}{2} }{\frac{\Delta x}{2}} )$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \cos \qty( x + \frac{\Delta x}{2} ) \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \sin \frac{\Delta x}{2} }{\frac{\Delta x}{2}}$ |
| 「sinc関数の極限」より、$\dfrac{ \sin \frac{\Delta x}{2} }{\frac{\Delta x}{2}} = 1$ が成り立つから、 |
| $= \cos \qty( x + \dfrac02 ) \times 1$ |
| $= \cos x. \Box$ |
余弦関数
$(\cos x)’ = \minus \sin x$
加法定理を用いた証明
| $(\cos x)’$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x + \Delta x) \minus \cos x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{(\cos x \cos \Delta x \minus \sin x \sin \Delta x) \minus \cos x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos x \cos \Delta x \minus \cos x}{\Delta x} + \dfrac{\minus \sin x \sin \Delta x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \cos x \dfrac{\cos \Delta x \minus 1}{\Delta x} \minus \sin x \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}$ |
| 1 より $\dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos \Delta x \minus 1}{\Delta x} = 0$ が成り立ち、「sinc関数の極限」より、$\dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}$ が成り立つから、 |
| $= 0 \minus \sin x$ |
| $= \minus \sin x. \Box$ |
和積の公式を用いた証明
| $(\cos x)’$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos(x + \Delta x) \minus \cos x}{\Delta x}$ |
| 「和積の公式」より、 |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \frac{\minus 2\sin \frac{(x + \Delta x) + x}{2} \sin \frac{(x + \Delta x) \minus x}{2}}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\minus 2\sin \frac{2x + \Delta x}{2} \sin \dfrac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\minus 2\sin \qty( x + \frac{\Delta x}{2} ) \sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \sin \qty( x + \dfrac{\Delta x}{2} ) \dfrac{\minus 2 \sin \frac{\Delta x}{2}}{\Delta x} \times \dfrac{\frac12}{\frac12} )$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \sin \qty( x + \dfrac{\Delta x}{2} ) \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \minus \sin \frac{\Delta x}{2} }{ \frac{\Delta x}{2} } $ |
| $= \sin \qty( x + \dfrac02 ) \left( \minus \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \sin \frac{\Delta x}{2} }{ \frac{\Delta x}{2} } \right)$ |
| 「sinc関数の極限」より、$\dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \sin \frac{\Delta x}{2} }{ \frac{\Delta x}{2} } = 1$ となるから、 |
| $\sin x \times (\minus 1)$ |
| $\minus \sin x. \Box$ |
$\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ を用いた証明
| $(\cos x)’$ |
| $= \qty( \sin \qty(x + \dfrac{\pi}{2}) )’$ |
| 「合成関数の微分」より、 |
| $= \ddv{ \sin \qty(x + \frac{\pi}{2}) }{ \qty(x + \frac{\pi}{2}) } \ddv{ \qty(x + \frac{\pi}{2}) }{x}$ |
| 「微分の線形性」より、 |
| $= \cos \qty(x + \dfrac{\pi}{2}) \left( \ddv{x}{x} + \ddv{\qty(\frac{\pi}{2})}{x} \right)$ |
| $= \cos \qty(x + \dfrac{\pi}{2}) \times (1 + 0)$ |
| $= \cos \qty(x + \dfrac{\pi}{2})$ |
| $= – \sin x. \Box$ |
正接関数
$(\tan x)’ = \dfrac1{(\cos x)^2}$
加法定理を用いた証明
| $(\tan x)’$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \tan(x + \Delta x) \minus \tan x}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \frac{\tan x + \tan \Delta x}{1 \minus \tan x \tan \Delta x} \minus \frac{\tan x(1 \minus \tan x \tan \Delta x)}{1 \minus \tan x \tan \Delta x} }{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \frac{\tan x + \tan \Delta x}{1 \minus \tan x \tan \Delta x} + \frac{\minus \tan x + (\tan x)^2 \tan \Delta x}{1 \minus \tan x \tan \Delta x}}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \frac{ \tan \Delta x + (\tan x)^2 \tan \Delta x}{1 \minus \tan x \tan \Delta x}}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{1}{\Delta x} \dfrac{\tan \Delta x \qty( 1 + (\tan x)^2)}{1 \minus \tan x \tan \Delta x} )$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{\tan \Delta x}{\Delta x} \dfrac1{1 \minus \tan x \tan \Delta x} \qty( 1 + (\tan x)^2) )$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{ \frac{\sin \Delta x}{\cos \Delta x} }{\Delta x} \dfrac{\cos \Delta x}{\cos \Delta x} \dfrac1{1 \minus \tan x \tan \Delta x} \qty( 1 + (\tan x)^2) )$ |
| 「三角関数の基本公式」より、$1 + (\tan x)^2 = \frac1{(\cos x)^2}$ が成り立つから、 |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x} \dfrac1{\cos \Delta x} \dfrac1{1 \minus \tan x \tan \Delta x} \dfrac1{(\cos x)^2} )$ |
| 「極限の性質」より、 |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x} ) \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac1{\cos \Delta x} ) \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac1{1 \minus \tan x \tan \Delta x} ) \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac1{(\cos x)^2} )$ |
| 「sinc関数の極限」より、$\dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1$ が成り立つから、 |
| $1 \times \dfrac{1}{\cos 0} \times \dfrac1{1 \minus \tan x \tan 0} \times \dfrac1{(\cos x)^2}$ |
| $1 \times \dfrac1{1 \minus \tan x \times 0} \times \dfrac1{(\cos x)^2}$ |
| $\dfrac1{(\cos x)^2}. \Box$ |
「商の微分」を用いた証明
| $(\tan x)’$ |
| $= \qty( \dfrac{\sin x}{\cos x} )’$ |
| 「商の微分」より、 |
| $= \dfrac{(\sin x)’\cos x \minus \sin x(\cos x)’}{ (\cos x)^2 }$ |
| $(\sin x)’ = \cos x,\, (\cos x)’ = \minus \sin x$ が成り立つから、 |
| $= \dfrac{(\cos x)^2 \minus \sin x(\minus \sin x)}{ (\cos x)^2 }$ |
| $= \dfrac{(\cos x)^2 \minus \qty\big(\minus (\sin x)^2)}{ (\cos x)^2 }$ |
| $= \dfrac{(\cos x)^2 + (\sin x)^2}{ (\cos x)^2 }$ |
| $= \dfrac1{ (\cos x)^2 }. \Box$ |
逆三角関数
逆正弦関数
$(\arcsin x)’ = \dfrac1{\sqrt{1 \minus x^2}}$
証明
| $y = \arcsin x$ とすると、$x = \sin y$ となるから、 |
| $(\arcsin x)’$ |
| $= \ddv{\arcsin x}{x}$ |
| $= \ddv{y}{x}$ |
| $= \dfrac1{\dv{x}{y}}$ |
| $= \dfrac1{\dv{\sin y}{y}}$ |
| $= \dfrac1{\cos y}$ |
| $= \dfrac1{ \sqrt{1 \minus (\sin y)^2} }$ |
| $= \dfrac1{ \sqrt{1 \minus x^2} }. \Box$ |
逆余弦関数
$(\arccos x)’ = \minus \dfrac1{\sqrt{1 \minus x^2}}$
証明
| $(\arccos x)’$ |
| $= \ddv{\arccos x}{x}$ |
| $= \ddv{y}{x}$ |
| $= \dfrac1{\dv{x}{y}}$ |
| $= \dfrac1{\dv{\cos y}{y}}$ |
| $= \dfrac1{\minus \sin y}$ |
| $\minus \dfrac1{ \sqrt{1 \minus (\cos y)^2} }$ |
| $x = \cos y$ であるから、 |
| $= \minus \dfrac1{\sqrt{1 \minus x^2}}$ |
逆正接関数
$(\arctan x)’ = \minus \dfrac1{1 + x^2}$
証明
| $(\arctan x)’$ |
| $= \ddv{\arctan x}{x}$ |
| $= \dfrac1{\dv{x}{\arctan x}}$ |
| $= \dfrac1{\dv{\tan y}{y}}$ |
| $= \dfrac1{\frac1{(\cos y)^2}}$ |
| $= (\cos y)^2$ |
| $= \dfrac1{1 + (\tan y)^2}$ |
| $= \dfrac1{1 + x^2}. \Box$ |
双曲線関数
双曲線正弦関数
$(\sinh x)’ = \cosh x$
証明
| $(\sinh x)’$ |
| $= \qty(\dfrac{ \e^x \minus \e^{-x} }{2})’$ |
| $= \dfrac{(\e^x)’ \minus (\e^{-x})’}{2}$ |
| $= \dfrac{\e^x \minus (\minus \e^{-x})}{2}$ |
| $= \dfrac{\e^x + \e^{-x}}{2}$ |
| $ = \cosh x. \Box$ |
双曲線余弦関数
$(\cosh x)’ = \sinh x$
証明
| $(\cosh x)’$ |
| $= \qty(\dfrac{\e^x + \e^{-x}}{2})’$ |
| $= \dfrac{(\e^x)’ + (\e^{-x})’}{2}$ |
| $= \dfrac{\e^x + (\minus \e^{-x})}{2}$ |
| $= \dfrac{\e^x \minus \e^{-x}}{2}$ |
| $= \sinh x. \Box$ |
双曲線正接関数
$(\tanh x)’ = \dfrac1{(\cosh x)^2}$
「商の微分」を用いた証明
| $(\tanh x)’$ |
| $= \qty( \dfrac{ \e^x \minus \e^{-x} }{ \e^x + \e^{-x} } )’$ |
| $= \dfrac{\qty(\e^x \minus \e^{-x})’ \qty(\e^x + \e^{-x}) \minus \qty(\e^x \minus \e^{-x}) \qty(\e^x + \e^{-x})’} { (\e^x + \e^{-x})^2 }$ |
| $= \dfrac{\qty\Big(\e^x \minus \qty(\minus \e^{-x})) \qty(\e^x + \e^{-x}) \minus \qty(\e^x \minus \e^{-x}) \qty\Big(\e^x + \qty(\minus \e^{-x}))} { (\e^x + \e^{-x})^2 }$ |
| $= \dfrac{\qty(\e^x + \e^{-x})^2 \minus \qty(\e^x \minus \e^{-x})^2} { (\e^x + \e^{-x})^2 }$ |
| $= \dfrac{\qty(\e^{2x} + 2 + \e^{-2x}) \minus \qty(\e^{2x} \minus 2 + \e^{-2x})} { (\e^x + \e^{-x})^2 }$ |
| $= \dfrac4{ (\e^x + \e^{-x})^2 }$ |
| $= \dfrac1{ \qty( \frac{\e^x + \e^{-x}}{2} )^2 }$ |
| $= \dfrac1{ (\cosh x)^2 }$ |
$\tanh$ の性質を用いた証明
| $(\tanh x)’$ |
| $= \qty( \dfrac{\sinh x}{\cosh x} )’$ |
| 「商の微分」より、 |
| $= \dfrac{(\sinh x)’ \cosh x \minus \sinh x(\cosh x)’}{ (\cosh x)^2 }$ |
| $= \dfrac{(\cosh x)^2 \minus (\sinh x)^2}{ (\cosh x)^2 }$ |
| $(\cosh x)^2 \minus (\sinh x)^2 = 1$ より、 |
| $= \dfrac1{ (\cosh x)^2 }. \Box$ |
逆双曲線関数
逆双曲線正弦関数
$(\arcsinh x)’ = \dfrac1{\sqrt{x^2 + 1}}$
証明
| $(\arcsinh x)’$ |
| $= \dfrac1{\ddv{x}{y}}$ |
| $= \dfrac1{\ddv{\sinh y}{y}}$ |
| $= \dfrac1{\cosh y}$ |
| $= \dfrac1{ \sqrt{(\sinh y)^2 \minus 1} }$ |
| $= \dfrac1{ \sqrt{x^2 \minus 1} }. \Box$ |
逆双曲線余弦関数
$(\arccosh x)’ = \dfrac1{\sqrt{x^2 \minus 1}}$
証明
| $(\arccosh x)’$ |
| $= \dfrac1{\ddv{x}{y}}$ |
| $= \dfrac1{\ddv{\cosh y}{y}}$ |
| $= \dfrac1{\sinh y}$ |
| $= \dfrac1{ \sqrt{(\cosh y)^2 \minus 1} }$ |
| $= \dfrac1{\sqrt{x^2 \minus 1}}. \Box$ |
逆双曲線正接関数
$(\arctanh x)’ = \dfrac1{1 \minus x^2}$
証明
| $(\arctanh x)’$ |
| 「逆関数の微分」より、 |
| $= \dfrac1{\dv{\tanh y}{y}}$ |
| $= \dfrac1{\frac1{(\cosh y)^2}}$ |
| 「双曲線関数の公式」$\frac1{(\cosh y)^2} = 1 \minus (\tanh y)^2$ より、 |
| $= \dfrac1{1 \minus (\tanh y)^2}$ |
| $= \dfrac1{1 \minus x^2}. \Box$ |
| $\dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos \Delta x \minus 1}{\Delta x}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\cos \Delta x \minus 1}{\Delta x} \dfrac{\cos \Delta x + 1}{\cos \Delta x + 1}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \dfrac{(\cos \Delta x)^2 \minus 1}{\Delta x(\cos \Delta x + 1)}$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \sin \Delta x \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x} \dfrac{1}{\cos \Delta x + 1} )$ |
| $= \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \sin \Delta x ) \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x} ) \dlim_{\Delta x \to 0} \qty( \dfrac{1}{\cos \Delta x + 1} )$ |
| 「sinc関数の極限」より、$\dlim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} = 1$ となるから、 |
| $= \sin 0 \times 1 \times \dfrac{1}{\cos 0 + 1}$ |
| $= 0 \times 1 \times \dfrac12$ |
| $= 0$ |
