環上の加群のテンソル積【その普遍性と一意性】

$R$-加群のテンソル積を定義するために、まずは$R$-双線形写像を定義する。

定義1: $R$-双線形写像そうせんけいしゃぞう（$R$-bilinear maps）

$R$を可換環、$M_1,\, M_2$を$R$-加群とするとき、$M_1 \times M_2$を定義域とする写像が以下の性質を満たすとき、$R$-双線形写像そうせんけいしゃぞうと呼ぶ。

$f(x_1 + x_2, y) = f(x_1, y) + f(x_2, y)$

（左加法性ひだりかほうせい）

$f(x, y_1 + y_2) = f(x, y_1) + f(x, y_2)$

（右加法性みぎかほうせい）

$f(ax, y) = f(x, ay) = af(x, y)$

（双斉次性そうせいじせい）

また、$R$-双線形写像$M_1 \times M_2 \to P$の全体のなす集合を$\bil(M_1, M_2;\, P)$と表す。

テンソル積というと、演算のイメージが強いかもしれないが、$R$-加群のテンソル積は以下のように「普遍性」を用いて定義される。

定義2: $R$-加群のテンソル積せき（tensor product of $R$-modules）

テンソル積の普遍性が成り立つような$M_1 \otimes_R M_2$を$M_1$と$M_2$のテンソル積せきと呼ぶ。

定理1: $R$-加群のテンソル積せきの普遍性ふへんせい（universal property of tensor product of $R$-modules）

$R$を環、$M_1, M_2, M’, M_1 \otimes_R M_2$を$R$-加群、$\phi \in \bil(M_1, M_2;\, M_1 \otimes_R M_2)$、$g \in \hom(M_1 \times M_2, M’)$とするとき、以下の図式のように$g = \psi \circ \phi$が成り立つ$R$-双線形写像$g: M_1 \times M_2 \to M’$がただ一つ存在する。

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証明

$(x, y) \in M_1 \times M_2$とするとき、$R$-加群$R(x, y)$の直和$\dbigoplus_{(x, y) \in M_1 \times M_2} R(x, y)$を考えると、これは$M_1 \times M_2$を基底とする自由加群であることがわかり、各元は$\dbigoplus_{(x, y) \in M_1 \times M_2} R(x, y) = \dsum_{i = 1}^n a_i(x_i, y_i)$という形で表せる。

$\dbigoplus_{(x, y) \in M_1 \times M_2} R(x, y)$の部分集合

$S_1 = \left\{ (x_1 + x_2, y) – (x_1, y) – (x_2, y) \rule{0ex}{2.5ex}\right|$$\left.x_1, x_2 \in M_1, y \in M_2 \rule{0ex}{2.5ex}\right\},$

$S_2 = \left\{ (x, y_1 + y_2) – (x, y_1) – (x, y_2) \rule{0ex}{2.5ex}\right|$$\left.x \in M_1, y_1, y_2 \in M_2, a \in R \rule{0ex}{2.5ex}\right\},$

$S_3 = \left\{ (ax, y) – a(x, y) \rule{0ex}{2.5ex}\right|x \in M_1, y \in M_2,$$\left.a \in R \rule{0ex}{2.5ex}\right\},$

$S_4 = \left\{ (x, ay) – a(x, y) \rule{0ex}{2.5ex}\right|x \in M_1, y \in M_2,$$\left.a \in R \rule{0ex}{2.5ex}\right\},$

を定義し、これらが生成する部分$R$-加群を$\langle S \rangle := \langle S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup S_4\rangle $とし、

$\phi \colon M_1 \times M_2 \to \dfrac{ \dbigoplus_{(x, y) \in M_1 \times M_2} R(x, y) }{\langle S \rangle };$$\, (x, y) \mapsto (x, y) + \langle S \rangle $が$R$-双線形写像であることを示す。

$\phi(x_1 + x_2, y) = (x_1 + x_2, y) + \langle S \rangle$

$(x_1 + x_2, y) – (x_1, y) – (x_2, y) \in \langle S \rangle$ より、

$= \qty\big( (x_1, y) + (x_2, y) ) + \langle S \rangle$

$= \qty\big( (x_1, y) + \langle S \rangle ) + \qty\big( (x_2, y) + \langle S\rangle )$

$= \phi(x_1, y) + \phi(x_2, y).$

$\phi(x, y_1 + y_2) = (x, y_1 + y_2) + \langle S \rangle$

$(x, y_1 + y_2) – (x, y_1) – (x, y_2) \in \langle S \rangle$ より、

$= \qty\big( (x, y_1) + (x, y_2) ) + \langle S \rangle$

$= \phi( (x, y_1) + (x, y_2) ).$

$\phi(ax, y) = (ax, y) + \langle S \rangle$

$(ax, y) – a(x, y) \in \langle S \rangle$ より、

$= a(x, y) + \langle S \rangle$

$= a\phi(x, y).$

$\phi(x, ay)$

$= (x, ay) + \langle S\rangle$

$(x, ay) – a(x, y) \in \langle S\rangle$ より、

$= a(x, y) + \langle S\rangle$

$= a\phi(x, y).$

となるから、$\phi$は$R$-双線形写像である。
$x’ \in M’$とすると、「$R$-加群の直和の普遍性」より、$R$-線形写像$g’ \colon \dbigoplus_{(x, y) \in M_1 \times M_2} R(x, y) \to M’$がただ一つ存在する。

$g’\qty\big( (x_1 + x_2, y) – (x_1, y) – (x_2, y) )$

$= g'(x_1 + x_2, y) – g'(x_1, y) – g'(x_2, y)$

$g’$ は$R$-線形写像であるから、

$= g(x_1 + x_2, y) – g(x_1, y) – g(x_2, y)$

$g$ は$R$-双線形写像であるから、

$= g(x_1 + x_2 – x_1 – x_2, y – y)$

$= g(0, 0)$

「群準同型写像の性質(i)」より、

$= 0.$

$g’\qty\big( (x, y_1 + y_2) – (x, y_1) – (x, y_2) )$

$= g'(x, y_1 + y_2) – g'(x, y_1) – g'(x, y_2)$

$= g(x, y_1 + y_2) – g(x, y_1) – g(x, y_2)$

$= g(x – x, y_1 + y_2 – y_1 – y_2)$

$= g(0, 0)$

$= 0.$

$g’\qty\big( (ax, y) – a(x, y) )$

$= g'(ax, y) – g’\qty\big( a(x, y) )$

$= g(ax, y) – g\qty\big( a(x, y) )$

$= g(ax, y) – g(ax, y)$

$= g(ax – ax, y – y)$

$= g(0, 0)$

$= 0.$

$g’\qty\big( (x, ay) – a(x, y) )$

$= g'(x, ay) – g’\qty\big( a(x, y) )$

$= g(x, ay) – g\qty\big( a(x, y) )$

$= g(x, ay) – g(x, ay)$

$= g(x – x, ay – ay)$

$= g(0, 0)$

$= 0.$

となる。よって、

$g’\qty\big( \langle S\rangle ) = \qty{0}$

$\iff \langle S\rangle \subseteq \ker g’$

となる。

以下のような図式を考えると、

「加群準同型定理」より、$g’ = \psi \circ \phi$となる$R$-線形写像$\psi \colon \dfrac{ \dbigoplus_{(x, y) \in M_1 \times M_2} R(x, y) }{\langle S\rangle } \to M’$がただ一つ存在する。
したがって、$g = \psi \circ \phi$が成り立つ$\psi$がただ一つ存在することが分かった。$\Box$

同じ加群の組$M_1, M_2$に対して、複数のテンソル積が存在すれば、それは互いに同型であることを示す。

定理2: テンソル積の一意性

$R$を環、$M_1, M_2$を$R$-加群、$T_1, T_2$を$M_1$と$M_2$のテンソル積とし、$\phi_1 \in \bil(M_1, M_2;\, T_1),\, \phi_2 \in \bil(M_1, M_2;\, T_2)$とするとき、$R$-同型写像$i \colon T_1 \to T_2$が存在する。

証明

$T_1, T_2$に対して、テンソル積の定義より、以下の図式が成り立つ。