体上のベクトル空間

$K$ を体とするとき、以下の性質を満たす集合 $V$ を $K$ 上のベクトル空間と呼ぶ。またこのとき、$K$ の元をスカラー、$V$ の元をベクトルと呼ぶ。
$\text{$(a,b \in K,\, x,y,z \in V$ であるとする。)}$

• $(x+y)+z=x+(y+z)$
• $x+y=y+x$
• $(\E 0 \in V) (\A x \in V)[x+0=0+x=x]$
• $(\A x \in V) (\E -x \in V) [x+(-x)=(-x)+x=0]$
• $(a+b)x=ax+bx$
• $a(x+y)=ax+ay$
• $(ab)x=a(bx)$
• $1x=x$

$V$ を体 $K$ 上のベクトル空間とするとき、$V$ と同一の和とスカラー倍によって定義された集合 $V’ \subseteq V$ に対して、以下の性質を満たすとき、$K$ 上の部分ベクトル空間と呼ぶ。

• $x+y \in V’$
• $ax \in V’$

$x_1, x_2, \ldots , x_n \in V,\, a_1, a_2, \ldots, a_n \in K$ に対して、
$$a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = 0 \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$$が成り立つような $x_1, x_2, \ldots , x_n \in V$ を線形独立と呼ぶ。逆に、$x_1, x_2, \ldots , x_n \in V$ が線形独立でないとき、線形従属と呼ぶ。

$V$ を $K$ 上のベクトル空間、$S = \qty{x_1,x_2,\ldots,x_n} \subseteq V$ を集合とするとき、その線形結合のなす集合
$$\span_K S := \qty{\dsum_{i=1}^n a_ix_i \;\middle|\; a_1,a_2,\ldots,a_n \in K }$$を $S$ の線形包せんけいほうと呼ぶ。